Педагогика римлянъ и грековъ въ этомъ отношеніи гораздо разумне средневковой, она смотрла на науку практичне и старалась сдлать ее ясной и доступной. Не даромъ римлянамъ принадлежитъ умнье составлять таблицу на пальцахъ, о чемъ сказано выше.

Намъ, привыкшимъ къ опредленному порядку умноженія, представляется чмъ-то страннымъ, что могутъ существовать еще другіе способы; настолько мы сжились съ своимъ. А между тмъ ихъ очень много, и ни въ какомъ другомъ дйствіи не встрчается такого большого разнообразія, какъ въ умноженіи. Въ старину всякій авторъ выбивался изъ силъ, чтобы дать отъ себя какое-нибудь измненіе или улучшеніе. Мы приведемъ всего 27 способовъ, не ручаясь, конечно, за то, что здсь они вс безъ остатка; весьма возможно, что есть и еще, скрытые въ тайникахъ книгохранилищъ, разбросанные въ многочисленныхъ, главнымъ образомъ, рукописныхъ сборникахъ. Мы начнемъ съ современнаго нормальнаго способа и постепеино перейдемъ къ тмъ, которые боле всего отъ него уклоняются.

1. Авторомъ нашего нормальнаго способа умноженія многозначнаго числа на многозначное слдуетъ считать Адама Ризе, популярнаго нмецкаго педагога (1492–1559). Въ его рукахъ онъ получилъ послднюю отдлку и завершеніе, и теперь онъ считается самымъ удобнымъ. Главное отличіе способа Адама Ризе заключается въ томъ, что разряды всхъ чиселъ и множимаго, и множителя, и произведенія стоятъ одинъ подъ другимъ въ одномъ вертикальномъ столбц; благодаря этому сразу видно, къ какому разряду принадлежитъ извстная цифра, и, слд., сбиться въ этомъ почти нельзя. Между тмъ, разстановка разрядовъ бываетъ самымъ труднымъ мстомъ при умноженіи, въ чемъ вы, читатель, убдитесь, когда просмотрите остальные способы. Среди нихъ есть и боле скорые, но нтъ ни одного такого, который представлялъ бы мене возможности сбиться. Примра на первый способъ мы продлывать не будемъ, такъ какъ всякій самъ суметъ его придумать и ршить. Скажемъ еще разъ: нашъ настоящій нормальный порядокъ умноженія боле всего напоминаетъ вычисленіе по колоннамъ абака, настолько выдержано въ немъ подписываніе однихъ и тхъ же разрядовъ въ вертикальномъ столбц.

2. Первый способъ непосредственно образовался изъ второго, отъ котораго отличается такою особенноетью: мы теперь не пишемъ лишняго нуля у второго неполнаго произведенія, двухъ нулей у третьяго и т. д., потому что ставимъ десятки подъ десятками, сотни подъ сотнями, и не боимся сбиться; но прежде вс эти лишніе нули писались аккуратно: мы теперь ясно видимъ, что нули безполезны, но математики до Адама Ризе не ршались ихъ отбрасывать и считали ихъ по большей части совершенно необходимыми. Этотъ второй способъ имлъ у итальянскихъ математиковъ особое названіе «per castellucio». Примръ:

Для начинающихъ учиться умноженію не худо и теперь приписывать нули къ произведеніямъ множимаго на десятки, сотни и т. д. Тогда дтямъ понятне будетъ, что для умноженія, въ нашемъ случа на 90, необходимо умножить на 9 и считать полученное число за десятки. А потомъ, когда дти поймутъ это и нсколько привыкнутъ, можно нули выпускать и пользоваться чистымъ первымъ способомъ.

3. Третій пріемъ составленъ Петценштейнеромъ, нмецкимъ математикомъ XV вка. Въ немъ множимое и произведеніе пишется по нашему, а множитель выходитъ изъ вертикальныхъ колоннъ и ставится сбоку, справа наискось. Расположеніе такое:

Какой смыслъ и какая цль въ подобномъ подписываніи множителя сбоку? Объ этомъ догадаться не трудно. У насъ въ примр взято двузначное число 97, а иногда случается вмсто него брать трехзначное, четырехзначное и т. д.; тогда легко бываетъ забыть, на какія цифры мы уже умножали, и на какія осталось умножать; чтобы не забыть, Петценштейнеръ и пишетъ каждую цифру при своемъ произведеніи. Еще ране его Радульфъ Лаонскій († 1131) предлагалъ, впрочемъ на абак, особенные кружки изъ дерева или изъ камня, чтобы приставлять ихъ къ тмъ разрядамъ множимаго и множителя, которые перемножаются. Надо сознаться, что Адамъ Ризе уступаетъ Петценштейнеру въ его заботахъ о множител, и наши школьники по способу Адама Ризе нердко пропускаютъ, особенно на первыхъ порахъ, цифры множителя. Для нихъ тоже не мшало бы на первое время, когда они еще учатся умиожать, пользоваться чмъ-нибудь въ род бумажки, чтобы они могли закрывать т раз-ряды, на которые еще не умножали.

4. Четвертый способъ принадлежитъ Кебелю, нмецкому ученому XVI вка. Множимое и множитель пишутся такъ же, какъ и у насъ, но въ произведеніи порядокъ подписыванія нарушается, и единицы отступаютъ вправо, вмсто того, чтобъ имъ стоять подъ единицами. Зачмъ это понадобилось Кебелю, и понять нельзя: нтъ въ зтой форм ни удобства, ни вообще какой-нибудь замтной цли; единственно, что тутъ можно думать, это то, что Кебель захотлъ изобрсти свой способъ и изобрлъ довольно неудачный.

Впрочемъ, на способ Кебеля учащіеся могутъ убдиться въ томъ, что неполныя произведенія можно подписывать какъ угодно, и не подъ разрядами производителей, лишь бы только выполнялось условіе, что единицы складываются съ единицами, десятки съ десятками, и т. д.

5. Пятый способъ отличается еще большей свободой въ подписываніи, въ немъ и отдльныя произведенія располагаются прямо другъ подъ другомъ, не обращая вниманія на то, что единицы оказались наискось отъ единицъ и десятки наискось отъ десятковъ; разумется, для отвта оно безразлично, складывать ли разряды вертикально или наклонно, лишь бы только не сложить единицъ съ дееятками; есть въ этомъ способ много оригинальности и пожалуй изящества, но мало удобства. Названіе его «per quadrilatero» и если перевести это выраженіе съ итальянскаго языка на русскій, то оно будетъ значить «способъ четыреугольника».

Прежде всего чертится ршетка; потомъ въ ней располагаются отдльныя произведенія такъ, что ихъ крайнія цифры стоятъ другъ подъ другомъ вертикально; сложеніе разрядовъ идетъ наискось, и цифры произведенія размщаются вправо и внизу; читать ихъ надо слва. Все это очень интересно, но для практическаго примненія мало годится. Это скорй ариметическое украшеніе, забава.

6. Вс предыдущіе пять способовъ требуютъ такого жъ основного порядка умноженія, какой и мы примняемъ всегда у себя; разница только въ подписываніи данныхъ чиселъ и искомыхъ: въ то время, какъ мы стремимся все расположить въ вертикальныхъ колоннахъ, Петценштейнеръ выноситъ множителя на сторону, Кебель отступаетъ съ произведеніемъ вправо, а по способу «четырехуголъника» разряды пишутся въ діагональномъ направленіи, т.-е. наискось; но везд умноженіе начинается неизмнно съ низшихъ разрядовъ. Теперь мы обратимся къ случаямъ, когда оно начинается съ высшихъ разрядовъ, а не съ низшихъ. Это бываетъ и у насъ, но только при томъ условіи, если не приходится перечеркивать и исправлять написанныхъ цифръ. А цифръ не бываетъ, во-первыхъ, при устномъ счет и, во-вторыхъ, при выкладкахъ на счетахъ. Поэтому въ обоихъ этихъ случаяхъ удобно начинать умноженіе съ высшихъ разрядовъ, тмъ боле, что и выговариваніе чиселъ и откладываніе ихъ на счетахъ идетъ все съ высшихъ разрядовъ. Но письменное умноженіе начинать съ лвой руки неудобно, потому что, если, напр., мы умножимъ десятки и запишемъ ихъ и потомъ перейдемъ къ единицамъ, то отъ умноженія единицъ могутъ получиться еще десятки, и намъ придется написанную цифру десятковъ стирать и замнять новой.