Шрифт:
Своеобразную систему дробей наблюдаемъ мы у римлянъ. Народъ серьезный, практичный, дловой, они предпочитали отвлеченному мышленію наглядность, и поэтому ничего нтъ естественне въ ихъ положеніи, какъ замнить отвлеченныя доли подраздленіями употребительныхъ мръ. Они остановили свое вниманіе на мр вса— фунтъ (ассъ, въ настоящее время аптекарскій фунтъ). Ассъ длится на 12 частей—унцій. Изъ нихъ образуются вс дроби со знаменателемъ 12, т.-е.
при этомъ каждая изъ такихъ дробей выражается особеннымъ знакомъ и особеннымъ словомъ; любую дробную величину можно было выражать посредствомъ унцій, напр., вмсто того, чтобы сказать: «я прочиталъ 5/12 книги», говорили «я прочиталъ 5 унцій книги». Такимъ образомъ, фунтъ являлся и именованной единицей, и въ то же время отвлеченной, такъ какъ его долями выражались всевозможныя дроби.
Эта римская система дробей держалась въ школахъ Западной Европы вплоть до тхъ поръ, когда принесенная чрезъ Испанію арабская — врне сказать, индуссая—ариметика стала вступать въ свои права и получила силу и перевсъ. Это относится къ XV—XVI вк. по Р. X. Въ эти вка ученіе о дробяхъ уже получаетъ настоящій обликъ, знакомый намъ теперь, и формируется приблизительно въ т же самые отдлы, которые встрчаются въ нашихъ настоящихъ учебникахъ. Но все это было еще очень мудрено, туманно и трудно для начинающихъ учиться. О происхожденіи дробей тогда не говорили или же говорили очень мало и съ пропусками. Вмсто того прямо начинали съ выговариванія дробей и съ ихъ письм. обозначенія. Вотъ цитата изъ Грамматеуса, нмецкаго автора XVI в.:
«слдуетъ замтить, что всякая дробь иметъ 2 цифры, вверху и внизу линіи. Верхняя цифра называется числителемъ, нижняя—знаменателемъ. Выговариваютъ дроби такъ: сперва называютъ верхнюю цифру, затмъ нижнюю, съ прибавленіемъ слова «части». Напр. 2/5 — дв пятыхъ части».
Въ русскихъ матем. рукописяхъ XVII в. мы видимъ то же самое, что въ западно-европейскихъ XVI и даже XV столтія, потому что, чтобы знанію дойти до Россіи, требовалось столтіе или боле. «Статія численая о всякихъ доляхъ указъ» начинается прямо съ письм. обозначенія дробей и съ указанія числителя и знаменателя. При выговариваніи дробей интересны такія особенности: четвертая доля называлась четью, доли же со знаменателями отъ 5 до 11 выражались словами съ окончаніемъ «ина», такъ что 1/7, = седмина, 1/5 пятина, 1/10 = десятина; доли со знаменателями, большими 10, выговаривались съ помощью слова «жеребей», напр., 5/13—пять тринадцатыхъ жеребевъ. Нумерація дробей была прямо заимствована изъ западныхъ источниковъ, въ чемъ авторъ рукописи сейчасъ же сознается:
«буди ти вдомо, како ся пишутъ доли въ цифирномъ счет, по нмецкимъ землямъ, въ латин и во французской земли.»
Числитель назывался верхнимъ числомъ, а знаменатель исподнимъ.
У Магницкаго (славянская ариметика 1703 г.) можно найти яркій примръ того, какъ смутно вырисовывалась глава о дробяхъ въ представленіи самихъ авторовъ учебниковъ. Первый разъ упоминаетъ о дробяхъ Магницкій совершенно неожиданно, когда у него идетъ дленіе съ остаткомъ. На стр. 17 ршается примръ 130 : 3, и въ конц ршенія говорится такъ:
«И умствуй изъ 10 3-хъ: и придеть 3, еже напиши за чертою. А осталось изъ 10, 1, иже есть общій всмъ тремъ и пишется послди сице: 1/3 .»
Больше никакихъ разъясненій нтъ совершенно. Слдующій примръ дленія съ остаткомъ приведенъ на стр. 21, и тутъ уже прямо подписанъ отвтъ 77446399 : 2864=27041 968/2864. Затмъ встрчается еще немало примровъ дленія съ остаткомъ, и во всхъ въ нихъ остатокъ подписывается именно такимъ образомъ, т.-е. въ вид числителя дроби, у которой длитель служитъ знаменателемъ. Трудно сказать, что хотлъ изобразить этимъ Магницкій: хотлъ ли онъ представить отвтъ въ вид цлаго числа съ дробью, или же это вовсе, по его мннію, не дробь, а только своебразное обозначеніе дленія съ остаткомъ. Если это дробь, то лучше было бы отложить ее до полнаго разсмотрнія дробей, или, въ крайнемъ случа, подробно ее объяснить; если же это не дробь, и если черта не отдляетъ числителя отъ знаменателя, то какая же сбивчивость и неясность возникнетъ для ученика, когда онъ начнетъ изучать дроби и увидитъ, что он пишутся почему-то точно такъ же, какъ и остатокъ съ длителемъ при дленіи съ остаткомъ. Почему все это такъ? Едва ли умъ ученика будетъ въ состояніи переварить этотъ вопросъ, и, вроятно, придетсяему бдному просто запомнить и затвердить, не мудрствуя сверхъ силъ.
На стр. 42 начинается у Магницкаго вторая часть ариметики, въ которой говорится «о числахъ ломаныхъ или съ долями».
«Что есть число ломаное?» — «Число ломаное ничто же ино есть, токмо часть вещи, числомъ объявленная, сирчь полтина есть, половина рубля, а пишется сице 1/2 рубля, или четь 1/4 , или пятая часть 1/5 или дв пятыя части 2/5 и всякія вещи яковыя либо часть, объявлена числомъ, то есть ломаное число».
Затмъ идетъ «нумераціо», или «счисленіе въ доляхъ», т.-е. дается рядъ дробныхъ примровъ и указывается, какъ ихъ выговаривать.
Полезно еще здсь объяснить, что значатъ старинныя русскія выраженія «полтретья», «полпята» и т. п, Полпята вовсе не значитъ половина пяти, но это будетъ 4 1/2 потому что, по нашему говоря, это половина пятаго. т.-е. 4 цлыхъ и отъ пятаго половина. Точно такъ же полтретья значитъ половина третьяго, т.-е. 2 1/2 . У насъ осталось и сейчасъ выраженіе полтора; оно произошло изъ полвтора, т.е. половина второго, слд., одинъ съ половиной, 1 1/2 . Теперь понятна задача изъ Магницкаго на стр РВI [8] : купилъ полторажды полтора аршина, далъ полтретьяжды полтретьи гривны, колико дати за полдевятажды полдевята аршина придетъ 20 рублевъ 2 алтына и 37/8 полуденьги.
8
ЭрВэИ с титлом Примечание авт. док.
Сокращеніе дробей и приведеніе къ одному знаменателю.
Умнье сокращать дроби восходитъ довольно далеко и замчается у математиковъ, жившихъ еще до Р. X. Самымъ простымъ способомъ былъ тотъ, который практикуется и у насъ, т. е. дленіе числителя и знаменателя на одно какое - нибудь небольшое число, въ род 2, 3, 5 и т. д. Эвклидъ (за 300 л до Р. X.) въ совершенств знаетъ способъ послдовательнаго дленія, т.е. когда большее число длится на меньшее, меньшее на первый остатокъ, первый на второй и т. п. до тхъ поръ, пока не будетъ найденъ общій длитель. Этотъ способъ разработанъ былъ Эвклидомъ въ геометріи и имъ же предлагается для сокращенія дробей. Въ труд ученаго Боэція (въ VI ст. по Р. X.) рекомендуется послдовательное вычитаніе, какъ средство для сокращенія дробей; при этомъ, схоже съ Эвклидомъ, меньшее число отнимается отъ большаго столько разъ, сколько можно, первый остатокъ отнимается отъ меньшаго числа, второй остатокъ отъ перваго и т. д. до тхъ поръ, пока, подобно Эвклиду, не будетъ найдено общаго длителя, на котораго затмъ и остается раздлить числителя и знаменателя. Кром того, въ средніе вка составлялись довольно длинныя таблицы для сокращенія дробей; въ нихъ выписывалось подробно, на какихъ именно производителей можетъ разлагаться каждое изъ составныхъ чиселъ. Былъ и еще пріемъ довольно своеобразный. Требуется, положимъ, сократить 14/21. Для этого помножаемъ числителя и знаменателя дроби на такое число, чтобы новый числитель содержалъ въ себ прежняго знаменателя; въ нашемъ примр достаточно помножить 14 на 3, получится 42, длимъ это число на 21; будетъ 2, а весь отвтъ составить 2/3 . Этотъ способъ можетъ и теперь иногда пригодиться, напр., въ устномъ счет.