Шрифт:
После появления списка Грама математики, должно быть, взирали на него со священным ужасом. Тайна распределения простых чисел, которая удерживала на себе внимание математиков со времен легендарного Гаусса, оказалась каким-то образом заключенной в перечне чисел: 1/ 2 + 14,134725 i, 1/ 2+ 21,022040 i, 1/ 2+ 25,010856 i, …. Но как?! Их вещественные части, без сомнения, равняются одной второй, как и предполагал Риман; однако мнимые части не проявляют никакого очевидного порядка или системы.
Я только что сказал: «Математики, должно быть…» Мне надо было бы сказать: «Несколько математиков в континентальной Европе, должно быть…» Одержимость Гипотезой Римана, захватившая математиков в течение XX столетия, в 1905 году только набирала силу. Во многих частях света о ней толком и не знали. В следующей исторической части нашего повествования мы с читателем отправимся в Англию, в период эдвардианского расцвета ее имперской славы. Но сначала позвольте показать вам, как же на самом деле выглядит дзета-функция.
Глава 13. Муравей Арг и муравей Знач
Предположим, что, как я и пытался вас убедить, комплексные числа представляют собой простое и понятное расширение обычных вещественных чисел и подчиняются всем обычным правилам арифметики с тем единственным добавлением, что i 2 = -1; кроме того, вспомним, что функции занимаются тем, что превращают числа из одной области — своей области определения —в числа из другой области; так вот, есть ли какая-нибудь причина, которая препятствует существованию функций от комплексных чисел? Никаких таких причин нет.
Функция возведения в квадрат, например, прекрасно работает для комплексных чисел в соответствии с правилами умножения. Скажем, квадрат числа -4 + 7 iесть (-4 + 7 i)x(-4 + 7 i), что равно 16 - 28 i– 28 i+ 49 i 2, т.е.
– 33 - 56 i. В таблице 13.1 показан «моментальный снимок» функции возведения в квадрат для некоторых случайным образом выбранных комплексных чисел. [111]
111
Пользуясь случаем, заметим, что «неизвестное» комплексное число чаще всего обозначается буквой z, а не x. Математики, как правило, используют nи mдля целых чисел, xи yдля вещественных, a zи wдля комплексных. Разумеется, можно использовать любые другие буквы, какие нам захочется, — это все не более чем традиция. (Для аргумента дзета-функции я твердо следую другой традиции: он обозначается буквой s, и так делают все математики.) Пойа говаривал своим ученикам, что общепринятое обозначение zдля аргумента и wдля значения в теории функций комплексной переменной происходят от немецкого Zahl,что означает «число», и Wert— «значение». Я, правда, не знаю, так ли это на самом деле.
| z | z 2 |
|---|---|
| – 4 + 7 i | – 33 - 56 i |
| 1 + i | 2 i |
| i | – 1 |
| 0,174 - 1,083 i | – 1,143 - 0,377 i |
Таблица 13.1.Функция возведения в квадрат.
Читателю, возможно, нелегко в это поверить, но изучение «функций комплексной переменной» представляет собой одно из наиболее элегантных и прекрасных направлений в высшей математике. Области определения всех функций, знакомых нам из школьной математики, легко расширяются на все, или почти все, комплексные числа. Например, в таблице 13.2 приведен «моментальный снимок» показательной функции для некоторых комплексных чисел.
| z | e z |
|---|---|
| – 1 + 2,141593 i | – 0,198766 + 0,30956 i |
| 3,141593 i | – 1 |
| 1 + 4,141593i | – 1,46869 - 2,28736 i |
| 2 + 5,141593 i | 3,07493 - 6,71885 i |
| 3 + 6,141593 i | 19,885 - 2,83447 i |
Таблица 13.2.Показательная функция.
Заметим, что, как и ранее, когда мы увеличивали аргументы «по сложению» — а сейчас, разумеется, дело обстоит таким же образом, поскольку к аргументу каждый раз прибавляется 1 + i, — значения функции изменяются «по умножению», в данном случае за счет умножения на 1,46869 + 2.28736 i. Если бы мы взяли аргументы, отличающиеся друг от друга прибавлением каждый раз числа 1, то, конечно, получающиеся значения отличались бы умножением на e.Заметим еще, что в эту таблицу включено одно из самых прекрасных тождеств во всей математике:
e i= -1.Говорят — и я полагаю, что такое вполне могло быть, — Гаусс утверждал, что если истинность этого выражения не становится для вас очевидной сразу же, при первом взгляде на него, то вы никогда не станете первоклассным математиком.
Но как же вообще можно определить комплексную степень числа e, как, впрочем, и любого другого числа? С помощью ряда, вот как. Следующее выражение дает реальное определение того, что такое e zдля вообще любого числа z, будь оно вещественным или комплексным (13.1):