Тем читателям, которые до сих пор не потеряли нить, этот пассаж должен быть понятен хотя бы отчасти. Я надеюсь, что все целиком приобретет смысл, когда мы доберемся до конца книги. Сейчас главное для нас — тот факт, что Гипотеза Римана рассматривалась как один из 23 больших и сложных вопросов, стоящих перед математиками в XX столетии, и именно так ее рассматривал Давид Гильберт— вероятно, величайший среди математиков, активно работавших в 1900 году. [105]

В главе 10.iii мы кратко упомянули причину, определявшую важность Гипотезы Римана на рубеже столетия. Основным фактором было то, что Теорема о распределении простых чисел была к этому моменту доказана. С 1896 года с математической точностью было известно, что (N) ~Li (N), и всеобщее внимание было приковано к этому значку «волны» посередине. Да, по мере того как Nнеограниченно растет, делаясь все больше и больше, (N)пропорциональным образом становится все ближе и ближе к Li (N). Но какова природа этой близости? Нельзя ли указать лучшее приближение? И вообще, насколько приближенно это приближение? Каков «остаточный член»?

Когда вопрос с ТРПЧ решился и математики смогли свободно предаваться мыслям об этих «второстепенных» вещах, они обнаружили, что их взор прикован к Гипотезе Римана. В работе Бернхарда Римана 1859 года ТРПЧ не была, конечно, доказана, но та работа явственно подсказывала, что теорема эта верна, и, более того, там предлагалось выражение для остаточного члена. В это выражение входили все нетривиальные нули дзета-функции. Точное знание о том, где, собственно, находятся эти нули, стало делом неотложной важности.

Математическая суть дела будет проясняться по мере нашего продвижения вперед, но, думается, вы вовсе не удивитесь, узнав, что все эти нули — комплексные числа. В 1900 году о расположении этих нетривиальных нулей (имеется в виду расположение на комплексной плоскости) с математической точностью было известно следующее.

• Существует бесконечно много нулей дзета-функции, причем все они имеют вещественную часть, заключенную в пределах от 0 до 1 (не включая границы). Чтобы наглядно это представить, математики используют комплексную плоскость (рис. 12.1) и говорят, что все нетривиальные нули лежат в критической полосе. В Гипотезе Римана делается более сильное утверждение: что все они лежат на линии, вещественная часть которой равна одной второй — т.е. на критической прямой. «Критическая полоса» и «критическая прямая» — распространенные термины при обсуждении Гипотезы Римана, и мы отныне будем свободно ими пользоваться.

• Нули появляются сопряженными парами. Другими словами, если a + bi— один из нулей, то нулем является и a - bi. Или еще по-другому, если z— один из нулей, то нулем будет и результат его комплексного сопряжения z'. Мы определили «комплексное сопряжение» и обозначения «зет-с-чертой» в главе 11.v. И еще одним способом скажем так: если имеется нуль сверху от вещественной прямой, то его зеркальное отображение снизу от вещественной прямой также будет нулем (верно, разумеется, и обратное).

• Вещественные части нулей симметричны относительно критической прямой, т.е. нуль или имеет вещественную часть, равную 1/ 2(в духе Гипотезы Римана), или же представляет собой один из элементов пары с вещественными частями 1/ 2 + и 1/ 2 – для некоторого вещественного числа , заключенного между 0 и 1/ 2, и с одинаковыми мнимыми частями. Примерами могли бы служить вещественные части 0,43 и 0,57 или же вещественные части 0,2 и 0,8. Другой способ сказать то же самое таков: если предположить, что имеется нетривиальный нуль нена критической прямой, то его зеркальный образ при отражении относительнокритической прямой также должен быть нулем. Это следует из той формулы в главе 9.vi. Если одна сторона формулы равна нулю, то другая также должна равняться нулю. Не будем рассматривать целые значения буквы s(при которых другие члены в той формуле или ведут себя плохо, или обращаются в нуль); тогда эта формула сообщает, что если (s)равна нулю, то (1 – s)также равна нулю. Тем самым, если ( 1/ 2 + ) + itпредставляет собой нуль дзета-функции, то нулем является и ( 1/ 2– ) - it, а значит, в соответствии с предыдущим пунктом и результат его сопряжения ( 1/ 2– ) + it.

Когда Гильберт выступал со своим докладом, сверх этого было известно немного. Риман предложил еще другую формулу с волной для приближенного числа нулей с мнимой частью между нулем и неким большим числом T(см. главу 16.iv). Однако эту формулу доказали лишь в 1905 году (сделал это фон Мангольдт). Но Гипотезу Римана не забыли совсем. Она мелькает как тема для обсуждения в математической литературе 1890-х годов, например, во французском журнале задач L'lnterm'ediaire des Math'ematiciens.Но по сути дела математики XIX века оставили задачу разбираться с великой и ужасной Гипотезой Бернхарда Римана математикам XX столетия.

XX столетие было довольно… довольно деятельнымстолетием. Много чего произошло во всех сферах человеческой жизни. Поэтому в ретроспективе век кажется ужасно долгим, намного дольше, чем просто полторы стандартные протяженности человеческой жизни, в общем-то и составляющие век. Но математика выступает величавой неспешной поступью, и глубокие проблемы, исследуемые современными математиками, выдают свои тайны очень медленно и неохотно. Внутри каждой конкретной математической дисциплины мир также довольно тесен, со своими героями, фольклором и устными традициями, связывающими сообщество воедино как в пространстве, так и во времени. Когда я собирал материал для этой книги, то из разговоров с ныне здравствующими математиками сделал вывод, что XX столетие не так уж далеко простерлось во времени — великие имена, связанные с его началом, находятся от нас все еще «в пределах слышимости».