Короче говоря, функция S(x)имеет значения, только когда xлежит в границах между -1 и 1, не включая сами границы. В других случаях у нее значений нет. В таблице 9.1 приведены значения функции S(x)для аргументов xмежду -1 и 1.

Вот и все, что можно извлечь из бесконечной суммы. График этой функции показан на рисунке 9.1; на этом графике у функции нет вообще никаких значений к западу от -1 и к востоку от 1. Используя профессиональную терминологию, можно сказать, что область определенияэтой функции заключена строго между -1 и 1.

Но смотрите, нашу сумму

можно переписать в таком виде:

Ряд в скобках здесь равен просто S(x): каждый член, встречающийся в одном, встречается также и в другом из двух выписанных выше рядов, а это и означает, что они совпадают.

Другими словами, S(x)= 1 + xS(x). Перенося самый правый член в левую часть, получаем равенство S(x) - xS(x) =1, или, другими словами, (1 - x) S(x) =1. Следовательно, S(x) =1/(1 - x). Возможно ли, чтобы за нашей бесконечной суммой скрывалась столь простая функция, как 1/(1 - x)? Может ли равенство

оказаться верным?

Без сомнения, может. Если, например, x= 1/ 2, то 1/(1 - x) равняется 1/(1 - 1/ 2), что есть 2. Если x= 0, то 1/(1 - x) равно 1/(1 - 0), что есть 1. Если x= - 1/ 2, то 1/(1 - x) равняется 1/(1 - (- 1/ 2)), т.е. 1:1 1/ 2что есть 2/ 3. Если x= 1/ 3, то 1/(1 - x) равняется 1/(1 - 1/ 3) т.е. 1: 2/ 3, что есть 1 1/ 2. Если x= - 1/ 3, то 1/(1 - x) равняется 1/(1 - (- 1/ 3)), т.е. 1:1 1/ 3, что есть 3/ 4. Все сходится. Для аргументов - 1/ 2, - 1/ 3, 0, 1/ 3, 1/ 2, при которых мы знаем значения функции, значения бесконечного ряда S(x)такие же, как и значения функции 1/(1 - x). Похоже, что этот ряд и эта функция — одно и то же.

Но они не одно и то же, поскольку у них различные области определения, как это видно из рисунков 9.1 и 9.2 . S(x)имеет значения только между -1 и 1, не включая границы; функция же 1/(1 - x) имеет значения везде, за исключением точки x = 1. Если x = 2, то ее значение равно 1/(1 - 2), то есть -1. Если x = 10, то значение равно 1/(1 - 10), то есть - 1/ 9. Если x = -2, то значение равно 1/(1 - (-2)), то есть 1/ 3. Можно нарисовать график функции 1/(1 - x). Как видно, он совпадает с предыдущим графиком в промежутке между -1 и 1, но имеет еще и значения к западу от -1 (включая саму -1) и к востоку от 1.

Мораль здесь в том, что бесконечный ряд может определять только часть функции; или, используя подобающие математические термины, бесконечный ряд может определять функцию только на части ее области определения. Остальная часть функции может где-то прятаться, ожидая, пока ее не вытащат на свет с помощью фокуса типа того, что мы применили к S(x).

Это приводит к очевидному вопросу: а не обстоит ли дело подобным же образом и с дзета-функцией? Не случилось ли так, что бесконечная сумма, которую мы использовали для дзета-функции, — выражение (9.1) — описывает только часть этой функции? И у этой функции есть что-то еще, что нам только предстоит открыть? Может ли область определения дзета-функции

оказаться больше, чем просто «все числа, большие 1»?

Конечно может. Иначе зачем бы мы тут стали влезать во все эти подробности? Да, дзета-функция имеет значения при аргументах, меньших 1. На самом деле, как и функция 1/(1 - x), она имеет значения при всехчислах за единственным исключением x= 1.

Сейчас подходящий момент, чтобы привести график дзета-функции, который продемонстрировал бы все ее свойства в широком интервале значений. К сожалению, это невозможно. Как уже упоминалось, кроме как для простейших функций, обычно нет хорошего и надежного способа показать функцию во всем ее великолепии. Близкое знакомство с функцией требует времени, терпения и тщательного изучения. Можно, однако, изобразить дзета-функцию по кускам. На рисунках с 9.3 по 9.10 показаны значения (s)для некоторых аргументов, находящихся слева от s = 1, хотя для этого потребовалось выбрать свой собственный масштаб на каждом графике. Понять, где мы находимся, можно, руководствуясь подписанными аргументами (на горизонтальной оси) и значениями (на вертикальной оси). При обозначении масштаба m указывает на миллион, tr на триллион, mtr обозначает миллион триллионов, a btr — миллиард триллионов.