292. Я уже говорил о том, что если вы отметите точку на ободе велосипедного колеса, то она опишет в пространстве кривую, называемую простой циклоидой. Если же вы отметите точку на реборде колеса локомотива или железнодорожного вагона, то она опишет трохоиду, кривую, заканчивающуюся петлями. На рисунке я изобразил колесо с ребордой ниже уровня рельсов в трех положениях: начало, пол-оборота и полный оборот. Точка A 1переходит в A 2и A 3. Поскольку предполагается, что поезд движется слева направо, проведите карандашом вдоль кривой в этом направлении. Вы обнаружите, что в нижней части петли карандаш в самом деле движется справа налево. Дело в том, что «в любой заданный момент» некоторые точки внизу петли движутся в направлении, противоположном поезду. Поскольку таких точек на окружности реборды бесконечно много, при движении поезда они описывают бесконечно много подобных петель. Фактически некоторые точки реборды постоянно движутся в направлении, противоположном поезду.

293. Механизм, изображенный на рисунке, состоит из двух деревянных дощечек Bи C, соединенных по углам так, что они образуют рамку. Рамка с помощью ручки nвращается вокруг оси a, которая проходит сквозь рамку и жестко закреплена на доске или столе A. Внутри рамки на ось жестко насажено зубчатое колесо D. При вращении рамки оно поворачивает толстое колесо E, которое, подобно остальным трем колесам F, Gи H, свободно сидит на своей оси. Тонкие колеса F, Gи Hприводятся в движение толстым колесом Eтаким образом, что при вращении рамки Hвращается в ту же сторону, что и E, G — в противоположную, a Fостается неподвижным. Секрет заключается в том, что, хотя все колеса могут быть одинакового диаметра и D, Eи Fмогут ( Dи F обязаны) иметь одинаковое число зубцов, у G, однако, зубцов должно быть по крайней мере на один меньше, а у Hпо крайней мере на один больше, чем у D.

294. Простейшее, хотя и не единственное, решение показано на рисунке слева.

295. Решение ясно из рисунка справа.

296. Простое решение показано на рисунке. Земля разделена на 8 равных частей, каждая из которых содержит по три дерева.

297. На рисунке изображен проход сквозь минное поле, составленный из двух прямолинейных участков.

298. Шесть прямых заборов поставлены так, что каждое дерево отгорожено от остальных. Мы утверждали, что подобным же образом с помощью шести заборов можно было бы отгородить 22 дерева, если бы они были расположены «поудобней». Мы могли бы добавить, что в таком случае каждая прямая должна пересекать все остальные, причем никакие две точки пересечения не будут совпадать. Однако, поскольку в нашей головоломке участвует только 20 деревьев, эти условия уже не являются необходимыми, и четыре забора пересекают только по четыре (а не по пять) других.

299. На рисунке показаны пять разрезов, которые делят полумесяц на 21 часть.

Если число разрезов равно n, то с их помощью круг можно разрезать на ( n 2+ n)/2 + 1, а полумесяц на ( n 2+ 3 n)/2 + 1 частей.

300. Возьмите полоски из толстого картона (не обязательно с прямолинейными краями) и соедините их между собой, использовав в качестве шарнира кнопки. Две длинные полоски должны иметь, равную длину (от центра одной кнопки до центра другой), а длины четырех нижних полосок, образующих ромб, должны быть равны между собой. Гвоздики или иголки прикрепляют «инструмент» к столу в точках Aи B, причем расстояния от Aдо Bи от Bдо Cравны между собой. Если все будет сделано аккуратно и точно, карандаш, помещенный в D, начертит прямую линию.

301. Проведите два перпендикулярных отрезка CDи EF(длина CDравна 12 см, длина EF — 8 см), пересекающихся друг с другом посередине. Найдите такие точки Aи B, чтобы AFи FBравнялись половине CD, то есть 6 см, и поместите ваши булавки в Aи B, взяв веревочную петлю равной ABFA. Пусть CA= x. Тогда, если карандаш находится в F, длина веревки равна 12 + (12 - 2 x) = 24 - 2 x, а если он находится в C, длина веревки равна тоже 2(12 - x) = 24 - 2 x, что и доказывает правильность нашего решения [39] .

302. Одного взгляда на помещенный здесь рисунок достаточно, чтобы заметить, что если я отрежу часть 1и помещу ее на место части 2, то получится прямой отрезок стены BC, отмеченный пунктиром и в точности равный участку AB. Следовательно, не правы были оба спорщика, и цена обоих участков должна быть одинаковой. Конечно, читатель сразу заметит, что это справедливо лишь при некоторых ограничениях, но мы имеем в виду именно ту стену, какая нарисована, и в том случае, когда эти ограничения выполнены.

303. Отмерьте любое удобное расстояние вдоль берега от Aдо C, скажем 40 м. Затем отмерьте любое расстояние в перпендикулярном направлении до точки D, скажем 12 м. Теперь сделайте засечку Eв направлении AB. Вы сможете измерить расстояние от Aдо B, которое в нашем случае равно 24 м, и от Eдо C, что даст 16 м. Далее, AB: DC= AE: EC, откуда ясно, что ширина реки ABравна 18 м.

304. Свинья пробежит 66 2/3 м и будет схвачена, а Пэт пробежит 133 1/3 м. Кривую [40] , которую опишет при этом Пэт, можно измерить точно. Ее длина равна an 2/( n 2– 1), где скорость свиньи принята за 1, Пэт бежит в nраз быстрее и a — первоначальное расстояние между Пэтом и свиньей.

305. Расстояние от верхнего конца до земли составляет 4/5 длины всей лестницы. Умножьте расстояние от стены (4 м) на знаменатель этой дроби (5), и вы получите 20. Теперь вычтите квадрат числителя дроби 4/5 из квадрата ее знаменателя. При этом получится 9 = 3 2. Наконец, разделите 20 на 3, и вы получите ответ: 6