255. Чтобы отметить вершины квадрата с помощью одного циркуля, сначала рисуют круг. Затем, зафиксировав раствор циркуля и начав с любой произвольно взятой на окружности точки A, отмечают точки B, Cи D. Из точек Aи Dкак из центров раствором ACописывают две дуги, пересекающиеся в точке E. Расстояние EOравно стороне искомого квадрата. Следовательно, если мы сделаем из Aзасечки Fи Gрадиусом OE, то A, F, D, Gи будут искомыми вершинами квадрата.

256. Если провести 15 прямых так, как показано на рисунке, получится ровно 100 квадратов. У сорока из них сторона равна AB, у двадцати — AC, у восемнадцати — AD, у десяти — AEи у четырех — AF. С помощью 15 прямых можно образовать даже 112 квадратов, но от нас требовалось точно 100. С помощью 14 прямых вам не удастся построить более 91 квадрата.

В общем случае с помощью nпрямых можно образовать ( n– 3)( n– 1)( n+ 1)/24 квадратов, если nнечетно, и ( n– 2) n( n– 1)/24 квадратов, если nчетно.

Если мы имеем mпрямых, перпендикулярных другим nпрямым, причем mменьше n, то число квадратов равно

257. Правило заключается в следующем. Если четыре стороны образуют арифметическую прогрессию, то наибольшая площадь равна квадратному корню из произведения всех сторон. Квадратный корень из 70 x 80 x 90 x 100 равен 7099 м 2. Это и есть верный ответ.

258. Площадь дорожки равна точно 66 2/3 м 2, что станет совершенно очевидным, если вы представите себе маленький треугольный кусок, отрезанный снизу и перенесенный в правый верхний угол (см. рисунок).

Докажем наше утверждение. Площадь всего сада равна 55 x 40 = 2200 м 2. Но (53 1/3 x 40) + 66 2/3 также равно 2200. Кроме того, сумма чисел

2и 40 2должна равняться 2, что и выполняется в действительности.

Общее решение таково. Обозначим ширину прямоугольника через B, длину через L, ширину дорожки через Cи длину дорожки через x. Тогда

В нашем случае x= 66 2/3 ; следовательно, основание прямоугольного треугольника с гипотенузой 66 2/3 м и катетом, равным 40 м, составляет 53 1/3 м.

259. Разделим стороны треугольника точками A, Bи Eпополам. Если провести ABи опустить перпендикуляры DAи CB, то ABCDбудет наибольшим возможным прямоугольником, а его площадь составит половину площади треугольника. Два других решения FEAGи KEBHподошли бы нам (у обоих та же самая площадь), если бы они не захватывали дерево. Это правило можно приложить к любому остроугольному треугольнику, а в случае прямоугольного треугольника получатся только два решения.

260. Многоугольник с произвольным числом сторон можно свести к равновеликому треугольнику, а поскольку угол AGFоказался прямым, то сделать это очень легко. Продолжим отрезок GA. Приложим линейку к точкам Aи C, параллельно перенесем ее вверх до точки Bи отметим точку 1. Затем соединим отрезком прямой точки 1 и Dи параллельно перенесем его вверх до точки C, отметив точку 2. Теперь приложим линейку к точкам 2 и E, параллельно перенесем ее до точки Dи отметим точку 3. Далее соединим линейкой точки 3 и F, параллельно перенесем ее до E, отметив точку 4. Если теперь мы соединим прямой точки 4 и Fто получим треугольник G4 F, площадь которого равна площади нашего неправильного поля. Поскольку на карте GFравно 7 см (70 м), то отрезок G4 равен 6 см (60 м) и площадь поля равна 1/2 (70 x 60), или 2100 м 2. Этот простой и ценный способ определения площади многоугольников следовало бы знать каждому, но, увы, пока это остается лишь благим пожеланием.

261. Все размеры приведены на рисунке. Обычно для того, чтобы найти решение, приходится решать биквадратное уравнение, но поскольку в условии задачи сказано, что ответ должен быть «в целых метрах», то можно заметить, что число 91 2представимо в виде суммы квадратов единственным образом: 91 2= 84 2+ 35 2. Зная это, определить все размеры очень легко. Искомое расстояние равно 35 м.

262. Соединим прямой точки Aи D(см. рисунок) и построим отрезок CE, перпендикулярный и равный отрезку AD. Тогда точка Eсовпадет с центром одного из квадратов. Проведем прямую EBи продолжим ее в обе стороны. Проведем также через Cпрямую FGпараллельно EB, а через Aи D — перпендикуляры к EBи FG. Поскольку Н есть центр углового квадрата, то, приняв отрезок HEза единицу длины, мы обнаружим, что доска имеет размеры 10 x 10.

Если бы не были даны размеры шашек, то мы могли бы разбить доску на более мелкие квадраты. Но поскольку размеры шашек видны из рисунка, дальнейшее разбиение доски невозможно: в более мелких квадратах наши шашки просто не уместятся. Так как расстояние между центрами квадратов равно стороне квадрата, мы легко можем восстановить всю доску, что и показано на рисунке.

263. На рисунке слева показано чрезвычайно простое решение данной головоломки. Звездочка в центре — это офицер, а точки — солдаты.