8.5. Остаток следует искать в виде аx + b, а частное удобно обозначить через Q(x). Следуя определению деления, записать тождество.

8.6. Если переписать уравнение в виде

то благодаря условию целочисленности решений можно ограничить возможные значения у рассмотрением нескольких случаев.

8.7. Если подставить известный корень в уравнение, найти коэффициенты при рациональной и иррациональной частях, то получим систему двух уравнений для определения а и b.

8.8. Ответьте на вопрос: достаточно ли воспользоваться теоремой Виета, в силу которой свободный член и второй коэффициент должны быть положительными?

8.9. Если обозначить первый корень через x1, а знаменатель прогрессии через q, то останется применить теорему Виета. (!)

8.10. С помощью теоремы Виета получить зависимость между 1, 2, 3 и коэффициентами данного уравнения. (!)

8.11. Разделить x^3 + аx + 1 на x– по правилу деления многочлена на двучлен.

8.12. Ясно, что остаток нужно искать в виде аx + b. Если данный многочлен обозначить через P(x), а частное от его деления на (x– 2)(x– 3) — через Q(x), то мы сможем воспользоваться определением деления многочленов.

8.13. Если многочлен x4 + 1 разделится на x^2 + рx + q, то в частном мы получим многочлен второй степени, т. е. x^2 + аx + b.

8.14. Если данный многочлен делится на (x– 1)^3, то после замены x– 1 = у получим многочлен, который должен делиться на у^3.

8.15. Если многочлен четвертой степени с коэффициентом 6 при старшем члене делится на x^2 - x + q без остатка, то в частном обязательно получится многочлен 6x^2 + аx + b, в котором а и b определяются одновременно с p и q.

9.1. Точки -2, -1, 0 делят числовую ось на четыре интервала, в каждом из которых нужно решить данное уравнение. (!)

9.2. Если рассматривать значения x, обращающие в нуль числа, стоящие под знаками абсолютных величин, то придется разбить числовую ось на пять частей.

Удобнее ввести новое неизвестное у = x^2. (!)

9.3. Это уравнение четвертой степени. Следовательно, нужно найти искусственный прием, приводящий к его решению. Удобно воспользоваться тем, что слева стоит сумма квадратов.

9.4. Возвести в куб и сравнить полученное уравнение с данным.

9.5. Свести уравнение к симметрической системе, обозначив первое слагаемое левой части через u, а второе через v. (!)

9.6. Если под радикалами раскрыть скобки, то получим квадратные трехчлены, отличающиеся лишь свободным членом. Поэтому данное в условии уравнение удобно заменить системой, обозначив первое слагаемое его левой части через u, а второе через v.

9.7. Поскольку неизвестное входит в уравнение либо в сочетании x– b, либо в сочетании а– x, то удобно ввести обозначения

9.8. Ввести вспомогательное неизвестное у и свести решение данного уравнения к решению системы уравнений относительно x и у.