Если ар, где а и p — действительные числа, существует, то

|a| = |а|p (1)

По определению logа N есть число, удовлетворяющее равенству

где а > 0 и а /= 1.

Формулы

(2)

называются формулами потенцирования. Первые две являются неабсолютными тождествами (см. введение к главе 9); при четных n и третья формула оказывается неабсолютным тождеством. Применение этих формул при решении уравнений (под применением формулы мы понимаем замену в уравнении выражения, стоящего в ее левой части, на выражение, стоящее справа) может привести только к приобретению посторонних решений.

Формулы (2), прочитанные справа налево, называются формулами логарифмирования. Чтобы формулы логарифмирования не приводили к потере решений, ими пользуются в виде

logа хy = logа |x| + logа |y|;

logа x/y = logа |x| - logа |y|;

logа x2k = 2k logа |x| (k — целое, k /= 0).

Следующие формулы позволяют переходить от логарифма с одним основанием к логарифму с другим основанием:

Если в третьей из этих формул n = 2k, то в правой части нужно писать вместо основания а основание |а|.

Формула

(3)

является неабсолютным тождеством, так как ее правая часть перестает существовать при f(x) = 1, в то время как левая часть при соответствующих значениях x может существовать и обращаться в нуль.

Таким образом, применение формулы (3) может привести к потере решений, при которых f(x) = 1.

При решении уравнений вида

(x)f(x) = (x)g(x) (4)

нужно воспользоваться условием равенства показателей: если (x) /= -1, 0, +1, то следствием уравнения (4) является уравнение

f(x) = g(x). (5)

Пусть x = а — корень уравнения (4). Тогда

(а)f(а) = (а)g(а).

В силу (1) можно записать, что

|(а)|f(а) = |(а)|g(а).

Так как |(x)| /= 0, 1 и |(x)| > 0, то по свойству показательной функции имеем

f(а) = g(а),

т. е. x = а — корень уравнения (5).

Случаи, когда (x) равно -1, 0 или 1, нужно рассмотреть отдельно.

Решая уравнение (4), следует иметь в виду, что выражения вида 0/0 и 00 не имеют смысла.

11.1. Найдите log5 6, если lg 2 = а, lg 3 = b.

11.2. Найдите lg 122,5, если lg 5 = а, lg 7 = b.

11.3. Решите уравнение

11.4. Для каждого действительного числа а решите уравнение