20.7. Каждое слагаемое k · k! можно представить в виде (k + 1)k!
– k(k– 1)!. При этом следует иметь в виду, что 0! = 1. (!)

20.8. Коэффициенты в правой части образуют арифметическую прогрессию с разностью 3. Если домножить Sn на x^2, то справа получим сумму, все члены которой, кроме крайних, имеют коэффициент, отличающийся от подобного коэффициента Sn на 3.

20.9. Рассмотреть тождество

(x + 1)5 = x5 + 5x4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 1

и положить в нем последовательно x = 1, 2, ..., n.

20.10. В n– й группе n членов. Рассмотрите отдельно случаи, когда n четное и n нечетное.

20.11. Удобнее найти 2Sn sin /2n.

20.12. Можно разбить эту сумму на 1 00 сумм:

каждая из которых является суммой членов геометрической прогрессии. Однако попытайтесь решить эту задачу проще, обозначив искомую сумму через в и осуществив над ней некоторое несложное преобразование.

20.13. Общий член ряда имеет вид

 Чтобы воспользоваться формулой геометрической прогрессии, нужно избавиться от 2 n в числителе. Чтобы понять, как это лучше сделать, запишите рядом два соседних члена ряда.

21.1. Если все, сидящие за круглым столом, одновременно сдвинуться на один стул в одном направлении, то у каждого останутся те же самые соседи.

21.2. Представить искомое число в виде разности числа всех перестановок из пяти элементов и перестановок, не удовлетворяющих условиям задачи.

21.3. Три разряда каждого числа должны быть заняты двойками. В оставшиеся четыре разряда можно поместить любые из восьми цифр, что даст 84 вариантов.

21.4. Задачу следует начать решать в предположении, что есть разные цифры l1, l2 и l3, которые входят в каждое число, а остальные пять цифр равноправны.

21.5. Легче найти число всевозможных размещений экскурсантов по каютам в предположении, что каюты неравноценны. Пусть таких размещений будет N, а размещений, о которых идет речь в задаче, K. Поскольку из каждого размещения экскурсантов по равноценным каютам можно получить 8! размещений по неравноценным каютам, то K · 8! = N.

21.6. В записи k– го члена суммы произвести сокращение на k.

21.7. Нужно найти такие n, для которых равенство

выполняется при некотором k.

21.8. Представить а + b + с + d в виде (а + b) + (с + d) и осуществить возведение в n– ю степень по правилам возведения в степень двучлена.

21.9. Коэффициент при xk будет равен числу членов, содержащих xk при почленном перемножении двух одинаковых многочленов. Придется различать случай, когда члены, содержащие xk, могут быть получены в результате умножения друг на друга членов суммы 1 + x + x^2 + ... + xk– 1 + xk (0 <= k <= n– 1), от случая, когда n– 1 < k <= 2(n– 1).

21.10. Записать выражение для общего члена разложения и сравнить с выражением для десятого члена разложения.

21.11. Сгруппировать члены внутри скобки и последовательно дважды применить формулу бинома.

21.12. Если обозначить через Рn число способов, которыми можно разбить на группы последовательность из n элементов, то можно получить рекуррентную формулу для Рn.