14.3. Способ 1. Можно перейти к неравенству относительно tg x. При этом придется рассмотреть различные случаи, в зависимости от знака cos x. (!)

Способ 2. Если синус и косинус выразить через tg x/2, то получим квадратное неравенство. Равносильно ли оно данному? (!)

14.4. Если cos 2x и sin 2x выразить через tg x и обозначить tg x = y, то получится простое алгебраическое неравенство. Равносильно ли оно данному?

14.5. Способ 1. Можно перейти к совокупности двух систем: cos x и tg 2x должны быть нестрого (т. е. включая нуль) разных знаков.

Способ 2. Воспользоваться формулой тангенса двойного угла. Равносильное ли получится неравенство?

14.6. Неравенство можно привести к алгебраическому, если выразить все тригонометрические функции через cos x. (!)

14.7. Если записать sin 2x = 2 sin x cos x и перенести все члены неравенства в одну часть, то получим однородное выражение относительно sin x и cos x. Разделив на cos^2 x, получим алгебраическое неравенство относительно y = tg x. Равносильно ли оно данному? (!)

14.8. Вычислить дискриминант и выяснить, когда он положителен.

14.9. Неравенство может выполняться только при sin x >= 0 и cos x >= 0. Приняв во внимание эти ограничения, его можно возвести в квадрат. (!)

14.10. Записать решение неравенства в предположении, что

14.11. Привести к неравенству относительно одной тригонометрической функции.

14.12. Перенести -1 в левую часть, записать тангенсы через синусы и косинусы и выполнить сложение.

14.13. Это — иррациональное неравенство относительно у = cos x. Не следует забывать, что |у| <= 1. Благодаря этому решение можно упростить.

14.14. Если выразить sin x и cos x через tg x/2 , то получим алгебраическое неравенство, которое решается методом интервалов. (!)

14.15. Выразить все тригонометрические функции через sin .

14.16. Так как sin^2 x >= 0, то, заметив, что x = k — решения неравенства, можно изолировать параметр а^2, разделив обе части неравенства на sin^2 x.

14.17. Если обозначить cos t = z, то данное выражение запишется в виде квадратного трехчлена относительно z, который должен быть положительным при всех -1 <= z <= 1. Найдите абсциссу вершины соответствующей ему параболы.

15.1. В правой части можно произвести логарифмирование, не нарушая равносильности.

15.2. Рассмотреть случаи 0 < tg x < 1 и tg x > 1. Удобно выразить sin^2 x через tg^2 x. (!)

15.3. Нетрудно заметить, что на самом деле интервал можно сузить: 0 < x < /2 , так как при /2 < x < функции, стоящие под знаком логарифма, отрицательны.

15.4. Вначале нужно привести все логарифмы к общему основанию с помощью формулы logak N = 1/k loga N.

15.5. Неравенство эквивалентно условию, что основание логарифмов лежит между 0 и 1.

15.6. Начать следует с приведения левой части к виду, удобному для логарифмирования. Это позволит перейти к неравенствам, где уже не будут участвовать тригонометрические функции.

15.7. Использовать тот факт, что arccos у >= 0. Чему равносильно данное в условии неравенство?

15.8. Область значений левой части неравенства — интервал от 0 до /2 , а область значений правой части — интервал от 0 до . Так как левая часть должна быть больше правой, то аргумент арккосинуса не может стать отрицательным.

15.9. Второй сомножитель неотрицателен при всех x, следовательно, неравенство может удовлетворяться лишь при положительных значениях первого сомножителя. Если произведение двух положительных чисел не меньше единицы, то хотя бы одно из них не меньше единицы.