Шрифт:
15.10. Обозначим первый сомножитель через А, а второй через В. Так как А >= 0, то неравенство равносильно совокупности двух систем:
K главе 16
16.1. Правая часть уравнения не может стать меньше двух. Сравнить с оценкой левой части. (!)
16.2. Это уравнение легко привести к квадратному относительно 2tg^2x. (!)
16.3. Перейти к общему основанию. Не нарушится ли при этом равносильность?
16.4. Поскольку в левой части уравнения стоит произведение синуса и косинуса от одного аргумента, удобно воспользоваться формулой синуса двойного угла. Записать, чему равен аргумент.
16.5. Перейти к уравнению без логарифмов, позаботившись о сохранении ограничений.
16.6. Ввести вспомогательное неизвестное и преобразовать данное уравнение в квадратное. (!)
16.7. От этого уравнения легко перейти к тригонометрическому. При этом нужно учесть все ограничения, которыми логарифм связывает число и основание.
16.8. Уравнение равносильно уравнению
16.9. Перейти к уравнению 5( 1/2 )x = /4 + k и найти все k, при которых это равенство возможно.
16.10. Вначале решить квадратное уравнение относительно lg cos x. Затем найти cos x и на этом шаге провести исследование.
16.11. Решить квадратное уравнение и учесть все ограничения на параметр а в связи с появлением радикала и синуса.
16.12. Данную систему нужно заменить системой без логарифмов. Однако при этом следует помнить обо всех ограничениях, которые накладываются на число, стоящее под знаком логарифма, и на основание логарифма.
16.13. Уравнение составлено таким образом, что решить его с помощью элементарных преобразований нельзя. Остаются два пути: либо графическое решение, либо оценка правой и левой частей уравнения. Второй путь предпочтительнее, так как левая часть легко оценивается, если положить 4cos^2 - x = u.
16.14. Трехчлен x^2 - x + 0,5 всегда больше 0,25.
K главе 17
17.1. Данную систему решить относительно f(2x + 1) и g(x– 1).
17.2. f(x) = x(x^2 - 6x + 9) = x(x– 3)^2,
f(f(x)) = f(x) (f(x) - 3)^2 = x(x– 3)^2(x^3 - 6x^2 + 9x– 3)^2.
17.3. Из второго уравнения найти 2 и подставить в первое. Воспользоваться условием, что x и у — целые числа.
17.4. Неравенство |x + 2| <= x + 2 удовлетворяется при всех x >= -2.
Уравнение следует преобразовать с помощью подстановки
2x– 1 = у, sin x/2 = 2.
17.5. Найти первообразную F(x) и воспользоваться условием касания графиков функций f(x) и F(x) в некоторой точке F0(x0; у0).
17.6. Данное неравенство равносильно такому:
Рассмотрите случаи: а) 0 < x– у < 1 и б) x– у > 1.