Сказанное относительно недоказанных суждений в равной степени применимо и к терминам, которые не определены. Из курса школьной геометрии читатель помнит, что точки рассматривались как фундаментальные и неопределяемые понятия, в терминах которых определялись линии и окружности. При попытке дать определение какому-либо термину становится ясно, что должны быть и неопределяемые термины. Термин «равные расстояния» можно определить следующим образом: расстояние между точками А и Б на прямой равно расстоянию между Си Д если отрезок АВ может быть перемещен как твердое тело, так чтобы он совпал с отрезком CD. Однако очевидно, что фраза «перемещение отрезка как твердого тела» не может быть определена с помощью термина «равные расстояния», ибо это приведет к кругу в определении. Тем не менее, ошибочно считать, что существуют недоказуемые по своей природе термины. Недоказуемость и неопределимость являются таковыми относительно той или иной системы. Вовсе не обязательно рассматривать точки как недоказуемые, поскольку в качестве недоказуемых мы можем выбрать и другие термины, например линии, и определять точки уже на их основе. Так, для евклидовой геометрии были выработаны различные аксиоматические основания. Гильберт обнаружил набор из двадцати одного допущения и пяти простых или неопределяемых идей, на основе которых выводимы все теоремы геометрии. Веблен, с другой стороны, открыл двенадцать допущений, требующих лишь двух неопределяемых терминов, для решения той же самой задачи. Мы не можем далее исследовать эту тему и отметим только то, что число неопределяемых терминов тесно связано с числом и характером недоказуемых суждений.

Теперь нам необходимо рассмотреть вопросы, связанные с набором аксиом. Каковы существенные и желательные свойства, которыми должен обладать набор аксиом?

1. Аксиомы исследуются с учетом имплицируемых ими суждений. Следовательно, продуктивность является одним из свойств, которыми должны обладать аксиомы. Это означает, что аксиомы должны имплицировать много теорем. Однако не существует критерия, согласно которому набор допущений должен порождать всеобъемлющий набор теорем. Вероятнее всего продуктивность не является характеристикой, внутренне присущей набору аксиом. Однако она отражает способность мыслящего человека обнаруживать их импликации. Более того, важность набора допущений пропорциональна нашей способности отыскивать его интерпретации в исследованиях, проводимых в естественных науках или других областях математики. Ниже мы еще вернемся к этой теме.

2. Весьма желательным и исторически значимым свойством аксиом является их независимость. Набор допущений является независимым, если невозможно вывести какую-либо из аксиом из других. Если набор аксиом является независимым, то в данной системе возможно провести четкое различие между допущениями и теоремами. И до тех пор, пока мы не знаем, что имеем дело с независимыми суждениями, мы не способны сказать, имеем ли мы дело с различными и альтернативными возможностями или же просто с одной и той же возможностью, выраженной в другой форме.

Вопрос о том, являются ли аксиомы и постулаты Евклида независимыми, представляет большой исторический интерес. Многие величайшие открытия в математике, физике и философии были обусловлены многочисленными попытками дать ответ на этот вопрос. Как мы уже сказали в предыдущем параграфе, математики на протяжении более чем двух тысяч лет старались вывести параллельные постулаты из других допущений Евклида. Основой для этих попыток была убежденность в том, что все его допущения, за исключением допущения о параллельных прямых, были «самоочевидно истинными». Они считали недостатком то, что несамоочевидное суждение принималось в качестве аксиомы. Им не удалось вывести пятый постулат Евклида из других его постулатов без введения дополнительных допущений, не включенных в изначальный набор аксиом Евклида. Однако что же было доказано этой неудачей? Разве то, что пятый постулат не может быть выведен из остальных? Разумеется, нет. Однако факт этой неудачи заставил исследователей задуматься о ее причинах. Это привело к тому, что некоторые математики стали искать доказательство тому, что пятый постулат независим от остальных постулатов.

В результате такое доказательство было открыто. Мы видели, что доказательство состоит из указания на то, что определенные аксиомы имплицируют определенные теоремы. Мы отрицаем наличие такой импликации, если мы можем показать, как данные теоремы могут быть ложными при истинности аксиом. Развив возможную геометрическую систему, в которой отрицается пятый постулат Евклида, тогда как остальные аксиомы сохраняются, Лобачевский смог показать, что пятый постулат не может быть логическим следствием остальных аксиом. Нам еще предстоит увидеть, что это доказательство иллюстрирует форму логического принципа, который мы рассматривали, когда обсуждали несовместимую триаду. Если из набора (непротиворечивых) суждений Р имплицируется другое суждение Q, то суждения из набора Р и суждение, противоречащее (или противоположное) Q, будут несовместимы друг с другом. Если в наборе аксиом обнаруживается несовместимость, выражающаяся двумя несовместимыми суждениями, то задача выполнена: Q не является независимым от Р. Если в наборе аксиом несовместимость не проявляется, то тогда возможно обоснованно вывести одну или более теорем, которые будут противоречить либо некоторым аксиомам, либо некоторым теоремам, также обоснованно выведенным. С другой стороны, если Р не имплицирует Q, то набор суждений Р и суждение, противоречащее Q, вместе сформируют непротиворечивый набор, в котором никогда нельзя будет отыскать противоречие [45] .

Резюмируем сущность одного из типов неевклидовой геометрии. Пятый постулат Евклида эквивалентен допущению о том, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. В геометрии Лобачевского данное допущение заменено допущением о том, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести более чем одну прямую, параллельную данной. Из этого допущения, а также других допущений Евклида можно получить целую совокупность теорем, некоторые из которых будут тождественными теоремам Евклида, тогда как иные будут им противоречить. Так, суждения «углы у основания равнобедренного треугольника равны» и «две прямые, параллельные третьей, параллельны друг другу» для Евклида и Лобачевского являются общими. С другой стороны, суждения «сумма углов треугольника равна двум прямым углам» и «площадь окружности равна кг2» верны только в системе Евклида.

3. На данном этапе читатель может возразить: «Я все еще не вижу, чтобы было доказано, что пятый постулат является независимым от остальных. Вы показали, что, допустив постулат, противоречащий данному, можно получить совокупность теорем, отличающихся от теорем Евклида. Но вы еще не показали, что этот новый набор постулатов является непротиворечивым. И до тех пор, пока вы этого не сделаете, у вас не будет достаточно оснований, чтобы считать, что неевклидова геометрия действительно возможна».

Это вполне верно. Тот факт, что после того как любое конечное число теорем выведено из неевклидового набора допущений, не было встречено никаких противоречий, еще ничего не доказывает относительно непротиворечивости этого набора. Противоречие вполне может появиться после того, как будет получено большее количество теорем. Такое же возражение может быть приведено безотносительно количества выведенных теорем. Возражение читателя демонстрирует, насколько тесно связаны проблемы независимости и непротиворечивости в случае с набором суждений.