Информация, состоящая из набора изолированных суждений, какими бы достоверными и исчерпывающими они ни были, не является наукой. Телефонный справочник, словарь, поваренная книга или строго упорядоченный каталог товара, проданного в универмаге, могут содержать точное знание, организованное в удобном порядке, однако мы при этом не считаем такие произведения научными трудами. Наука требует того, чтобы наши суждения формировали логическую систему, т. е. чтобы они состояли друг с другом в одном из рассмотренных выше отношений эквивалентности или контра-позитивности. Именно поэтому в данной главе мы продолжаем наше исследование природы доказательства, с тем чтобы прояснить некоторые родовые свойства дедуктивных систем. Мы увидим, что подобное исследование тождественно исследованию природы математики.

Вспомним, что ни одно суждение не может быть доказано экспериментальным методом. Читатель, без сомнения, знаком с теоремой Пифагора, согласно которой в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Без сомнения, ему доводилось доказывать ее в школе. Тем не менее, весьма вероятно, что в любой группе людей с высшим образованием найдется такой, который для доказательства данной теоремы станет использовать транспортир и линейку, с тем чтобы точно начертить нужные прямоугольные треугольники. Можно сказать, что в интересующем нас отношении данный индивид не сделал существенного прогресса по сравнению с методами древнеегипетских исследователей.

Допустим, к примеру, что нам пришлось бы доказывать теорему Пифагора, непосредственно прочерчивая квадраты на трех сторонах прямоугольного треугольника, изображенного на фольге равномерной плотности, затем вырезая их и взвешивая, с тем чтобы убедиться в том, что квадрат гипотенузы весит столько же, сколько и квадраты катетов. Означало бы подобное действие доказательство? Разумеется, нет, ибо мы никогда не можем быть до конца уверенными в том, что фольга имеет одинаковую плотность по всей своей площади, или в том, что вырезанные куски представляют идеальные квадраты. Отсюда следует, что если в ряде экспериментов нам не удастся отыскать идеальное совпадение в весе кусков фольги, то проделанные операции нельзя будет считать свидетельством против позиции, согласно которой идеальное равновесие все же было бы достигнуто, если бы проведенные нами линии были бы идеально прямыми, углы квадрата были бы идеально прямыми, а масса фольги абсолютно равномерной. Логическое доказательство, или демонстрация, как мы уже убедились, заключается в указании на определенное суждение как необходимое следствие других определенных суждений. В доказательстве ничего не утверждается о фактической истинности какой-либо из посылок или их логического следствия.

«Но минутку! – может воскликнуть читатель. – Разве мы не доказываем то, что теоремы в геометрии на самом деле истинны? Разве математика не является самой точной наукой, в которой указывается, что определенное свойство раз и навсегда присуще объектам определенного типа? Если вы рассмотрите любое утверждение в теореме, например в теореме Пифагора, то вы найдете в ней утверждение относительно всех треугольников. Если же вы допускаете, что доказано, что нечто действительно истинно для всех треугольников, то почему вы не соглашаетесь с тем, что мы одновременно устанавливаем «материальную» истинность такой теоремы? Разве слово «все» на самом деле не означает все треугольники?»

В данном протесте, однако, не учитывается то уже упоминавшееся обстоятельство, что логическое доказательство является указанием или проявлением импликаций между набором суждений, называемых «аксиомами», и набором суждений, называемых «теоремами», и что сами по себе аксиомы не доказываются.

Читатель может на это ответить: «Аксиомы не доказываются, потому что они не нуждаются в доказательстве. Их истина самоочевидна. Все могут удостовериться в том, что такие суждения, как «целое больше, чем любая из его частей» или «через две точки можно прочертить только одну прямую», с очевидностью являются истинными. Тем самым они становятся удовлетворительной основой для геометрии, поскольку с помощью них мы можем установить истинность суждений, не являющихся самоочевидными».

В подобной реплике отражен традиционный подход. Вплоть до конца XIX века считалось, что аксиомы являются материальными истинами физического мира и что неопровержимость доказательств зависит от этой присущей им материальной истинности. Тем не менее, в данном видении аксиом смешиваются три различных вопроса:

1. Как устанавливается материальная истинность аксиом?

2. Являются ли аксиомы материально истинными?

3. Являются ли теоремы логическими следствиями ясно сформулированных аксиом?

Данные вопросы необходимо рассматривать по отдельности.

1. Ответ, который обычно дается на первый вопрос, заключается в утверждении о том, что аксиомы являются самоочевидными истинами. Однако данный подход – это всего лишь удобный способ отказа от рассмотрения подлинных трудностей. Во-первых, если под термином «самоочевидность» подразумевать психологическую несомненность, непреодолимый импульс утверждать нечто или психологическую невообразимость каких-либо противоположных суждений, то это не даст нам надежного критерия истинности, и история человеческой мысли является тому хорошим подтверждением. Многие суждения, ранее рассматривавшиеся в качестве самоочевидных, например такие, как «природа не терпит вакуума», «на противоположной точке Земли люди ходят вверх ногами», «любая поверхность имеет две стороны», сегодня считаются ложными. На самом деле каждое из противоречащих друг другу суждений относительно любой предметной области (в том числе и наиболее спорные суждения) в разное время утверждалось в качестве фундаментального и интуитивно ясного суждения, истинность которого, следовательно, считалась самоочевидной. Однако является ли определенное суждение очевидным или нет, зависит от культурного контекста и индивидуальной подготовки, и поэтому суждение, являющееся с очевидностью истинным для одного человека или группы людей, может не являться таковым для другого человека или группы.

Данная точка зрения предполагает наличие у людей способности формулировать общие суждения, относящиеся к фактическому положению дел, просто посредством анализа значения суждения. Однако повторим еще раз, что история человеческой мысли, равно как и анализ природы значения, продемонстрировали, что существует огромное различие между пониманием значения суждения и знанием его истинностного значения. Истинность общих суждений, в которых сообщается о неопределенном количестве эмпирических фактов, никогда не может быть установлена. Следовательно, основополагающей причиной для отрицания того, что истинность аксиом геометрии или любой другой области математики является самоочевидной, является то, что каждая аксиома имеет, по крайней мере, одну значимую противоположную аксиому.