Шрифт:
| ) -> | )
Отсюда следует, что никакие два фермиона не могут находиться в одном и том же состоянии. Действительно, если бы какие-нибудь два фермиона находились в одном и том же состоянии, то их перестановка вообще никак не сказывалась бы на полном состоянии системы, следовательно должно было бы выполняться — | )=| ) т. е. | )= 0 , что не допустимо для квантового состояния. Это свойство известно как принцип запрета Паули [163] , а его следствия для структуры вещества имеют фундаментальный характер. Действительно, все главные составляющие вещества: электроны, протоны и нейтроны принадлежат к числу фермионов. Не будь принципа запрета, вещество бы просто сколлапсировало!
163
Блестящий австрийский физик Вольфганг Паули, сыгравший выдающуюся роль в развитии квантовой механики, выдвинул свой принцип запрета в 1925 году в качестве гипотезы. Полная квантовомеханическая теория того, что мы ныне называем «фермионами», была разработана в 1926 году выдающимся физиком Энрико Ферми и великим Полем Дираком, с которым мы уже несколько раз встречались по ходу изложения. Статистическое поведение фермионов соответствует «статистике Ферми — Дирака» (отличной от «статистики Больцмана» — классической статистики различимых частиц). «Статистика Бозе — Эйнштейна» бозонов была разработана для рассмотрения фотонов замечательным индийским физиком Шатьендранатом Бозе и Альбертом Эйнштейном в 1924 году.
Вернемся к нашему примеру с 10положениями и предположим теперь, что у нас есть состояние, состоящее из двух тождественных фермионов. Состояние | 0 )| 0 ) исключается в силу принципа Паули (при перестановке первого множителя со вторым оно переходит в себя вместо того, чтобы переходить в себя со знаком минус). Кроме того, состояние | 0 )| 1 ) также само по себе должно быть исключено, так как при перестановке множителей знак минус не появляется; но это легко можно исправить, если заменить произведение | 0 )| 1 ) комбинацией
| 0 )| 1 ) — | 0 )| 1 ).
(Для нормировки оба члена можно было бы умножить на общий множитель 1 / 2 .) Это состояние правильно изменяет знак при перестановке первой частицы со второй, но теперь состояния | 0 )| 1 ) и | 0 )| 1 ) уже не независимы. Вместо этих двух состояний нам теперь разрешается иметь только одно состояние! Всего существует
1 / 2 ( 10 х 9 ) = 45
состояний такого рода — по одному на каждую неупорядоченную пару различных состояний из | 0 ), | 1 )…., | 9 ). Таким образом, для задания двухфермионного состояния в нашей системе необходимы 45 комплексных чисел. В случае трех фермионов нам требуются 3 различные позиции, и базисные состояния выглядят следующим образом
Всего таких состояний ( 10 х 9 х 8 ) / 6= 120 , поэтому для задания трехфермионного состояния необходимы 120 комплексных чисел.
Для пары тождественных бозонов независимые базисные состояния бывают двоякого рода, а именно такие, как
| 0 )| 1 ) + | 1 )| 0 ),
и такие, как
| 0 )| 0 )
(которое теперь разрешается), что дает всего 10 х 11 / 2 = 55 базисных состояний. Таким образом, для задания двухбозонных состояний требуется 55 комплексных чисел. Для трех бозонов существуют базисные состояния трех различных типов и для задания каждого из них требуются ( 10 х 11 х 12 ) / 6= 220 комплексных чисел, и так далее.
Разумеется, для того, чтобы донести до читателя основные идеи, я рассматривал упрощенную ситуацию. Более реалистическое описание потребовало бы целый континуум состояний с определенным положением, но существенные идеи остаются такими же. Еще одно небольшое осложнение связано с наличием спина . Для каждой частицы со спином 1 / 2 (такая частица с необходимостью является фермионом) в каждом положении существовало бы 2 возможных состояния. Обозначим их «^» (спин «вверх») и «V» (спин «вниз»). Тогда в рассматриваемой нами упрощенной ситуации мы получаем не 10, а 20базисных состояний
а в остальном рассуждать следует так же, как было сделано только что (таким образом, для двух таких фермионов необходимо взять ( 20 х 19 ) / 2= 190 чисел, для трех — ( 20 х 19 х 18 ) / 6= 1140 и т. д.).