cos 2 ,

света, прошедшего сквозь первый поляроид.

В корпускулярной картине мы должны считать, что каждый индивидуальный фотонобладает поляризацией. Первый поляроид действует как измеритель поляризации, давая ответ ДА, если фотон действительно поляризован в соответствующем направлении. В этом случае фотону разрешается пройти сквозь поляроид. Если же фотон поляризован в ортогональном направлении, то измерение первым поляроидом даст ответ НЕТ, и фотон будет поглощен. (В данном случае «ортогональность» в гильбертовом пространстве соответствует прямому углумежду направлениями в обычном пространстве!) Предположим, что фотон проходит сквозь первый поляроид, после чего второй поляроид задает ему соответствующий вопрос, но уже относительно некоторого другого направления. Угол между этими двумя направлениями равен , как в упомянутом выше случае. Тогда мы имеем cos 2 в качестве вероятноститого, что фотон пройдет сквозь второй поляроид при условии, что он уже прошел сквозь первый поляроид.

Где же здесь появляется сфера Римана? Чтобы получить полный набор состояний поляризации, описываемый комплексными числами, нам необходимо рассмотреть круговуюи эллиптическуюполяризацию. Для классической волны эти разновидности поляризации представлены на рис. 6.27.

При круговой поляризации электрическое и магнитное поля не осциллируют, а согласованно вращаются , по-прежнему образуя между собой прямой угол. При эллиптической поляризации существует некоторая комбинация вращательного и колебательного движений, а вектор электрического поля «вычерчивает» в пространстве эллипс . В квантовом описании каждому индивидуальному фотонуразрешается находиться в любом из спиновых состояний, т. е. быть поляризованным любым из названных выше способов.

Чтобы понять, как набор возможных поляризаций снова образует сферу Римана, представим себе фотон, который движется вертикально вверх. Северный полюс теперь представляет состояние | R ) — правовинтовой спин. Это означает, что электрический вектор движущегося фотона вращается против часовой стрелки относительно вертикали (если смотреть сверху). Южный полюс представляет состояние | L ) — левовинтовойспин. (Фотоны можно представлять вращающимися наподобие ружейной пули, либо слева направо, либо справа налево.) Общее спиновое состояние | R ) + q | L ) представляет собой комплексную линейную комбинацию двух состояний | R ) и | L ) и соответствует точке на сфере Римана, помеченной значением q . Чтобы установить связь между значением q и эллипсом поляризации, мы прежде всего извлечем из q квадратныйкорень и получим другое комплексное число р :

р = q

Затем нанесем р вместо q на сферу Римана и рассмотрим плоскость, проходящую через центр сферы перпендикулярно прямой, соединяющей центр сферы с точкой р . Эта плоскость пересекает сферу по окружности, проектируя которую на горизонталь, мы получаем эллипс поляризации (рис. 6.28) [160] .

Сфера Римана со значениями q по-прежнему описывает совокупность поляризованных состояний фотона, но квадратный корень р из q дает нам ее пространственную реализацию.

Чтобы вычислить вероятности, мы можем воспользоваться той же самой формулой 1/2 ( 1 + cos v ), которой мы пользовались для электрона, применив ее к q , а не к р . Рассмотрим плоскую поляризацию. Мы измеряем поляризацию фотона сначала в одном направлении, затем в другом направлении, образующем с первым угол . Эти два направления соответствуют двум значениям р на экваторе сферы, стягивающим угол в центре сферы. Так как величины р — квадратные корни из величин q , угол v , под которым из центра видны q – точки, вдвоебольше угла, под которым из центра видны p – точки: v = 2 . Таким образом, вероятность получения ответа ДАпосле второго измерения при условии, что после первого измерения был получен ответ ДА(т. е. вероятность прохождения фотона через второй поляроид при условии, что он прошел сквозь первый поляроид) равна 1/2 ( 1 + cos ), что, как показывают несложные тригонометрические преобразования, в точности совпадает с cos 2 и утверждалось выше.

Для квантовой системы с числом базисных состояний больше двух пространство физически различимых состояний имеет более сложную структуру, чем сфера Римана. Но в случае спина самой сфере Римана всегда отведена некоторая прямая геометрическая роль. Рассмотрим массивнуючастицу или атом со спином n х h / 2 в состоянии покоя. (Для безмассовых частиц со спином, т. е. частиц, которые движутся со скоростью света (как, например, фотон), спин всегда, как было описано выше, представляет собой систему с двумя состояниями. Но у массивной частицы число состояний увеличивается с увеличением спина.) Если мы захотим измерить спин такой частицы в некотором направлении, то обнаружим, что существуют n + 1 различных возможных исходов измерения, в зависимости от того, какая часть от полного спина ориентирована в выбранном направлении. В терминах фундаментальной единицы h / 2 возможные результаты для значений спина в выбранном направлении равны n , n — 2 , n — 4, …, 2 — n или — n. Следовательно, при n = 2 спин может быть равен (в единицах h / 2 ) 2 , 0 или - 2 , а при n = 3 это 3 , 1 , - 1 или - 3 и т. д. Отрицательныезначения соответствуют спину, направленному главным образом в сторону, противоположнуютой, в которой производилось измерение. В случае спина, равного 1 / 2 , т. е. при n = 1 , значение 1 соответствует ответу ДА, а значение - 1 — ответу НЕТ(в приведенных выше описаниях).