Шрифт:
<c|S|j>.
Или, если пользоваться формой (6.28), ему нужно вычислить матрицу
<i|S|j>,
называемую S-матрицей. Стало быть, если вы увидите физика-теоретика, который меряет шагами комнату и говорит: «Мне нужно только вычислить S– матрицу», — то вы теперь уже будете понимать, над чем он ломает голову.
Как анализировать S-матрицу, т. е. как указать законы для нее,— вопрос интересный. В релятивистской квантовой механике при высоких энергиях это делается одним способом, в нерелятивистской же квантовой механике — другим, более удобным. (Он годится и в релятивистском случае, но перестает быть таким удобным.) Состоит он в том, чтобы вывести U– матрицу для небольших интервалов времени, т. е. для близких t2 и t1. Если мы сможем найти последовательность таких U для последовательных интервалов времени, то сможем проследить за тем, как все меняется в зависимости от времени. Сразу же ясно, что для теории относительности этот способ не очень хорош, потому что не так уж просто указать, как «одновременно» все всюду выглядит. Но не стоит нам думать об этом; нашей заботой будет только нерелятивистская механика.
Рассмотрим матрицу U для задержки от t1до t3, где t3 больше t2. Иными словами, возьмем три последовательных момента: t1 меньше t2, t2 меньше t3. Тогда мы утверждаем, что матрица, которая тянется от t1до t3, получается перемножением подряд всего того, что происходит при задержке от t1 до t2, и затем от t2до t3. Это в точности то же самое, что было с двумя последовательными приборами В и А. Тогда, следуя обозначениям, принятым в гл. 3, § 6, мы можем написать
Иначе говоря, можно проанализировать любой интервал времени, если мы умеем анализировать последовательность промежуточных коротких интервалов. Мы просто перемножаем все куски; это и есть способ нерелятивистского анализа квантовой механики.
Итак, задача состоит в том, чтобы узнать матрицу U(t2, t1) для бесконечно малого интервала времени — для t2=t1+Dt. Спросим себя: если сейчас у нас есть состояние j, то как оно будет выглядеть через бесконечно малое время Dt? Посмотрим, как это можно расписать. Обозначим состояние в момент t через |y(t)> (мы указываем зависимость y от времени, чтобы было совершенно ясно, что речь идет об условиях в момент t). Теперь зададим вопрос: каково будет положение вещей через короткое время Dt? Ответ таков:
Здесь имеется в виду то же, что и в (6.25), а именно, что амплитуда обнаружить c в момент t+Dt есть
Поскольку мы еще не очень хорошо разбираемся в этих абстрактных вещах, то давайте спроецируем наши амплитуды в определенное представление. Умножая обе части (6.31) на <i|, получаем
Можно также разложить и |y(t)> на базисные состояния и написать
Понять это можно так. Если через Ci(t)=<i|y|(t)> обозначить амплитуду пребывания в базисном состоянии i в момент t, то можно считать эту амплитуду (помните, это просто число!) меняющейся во времени. Каждое Сiстановится функцией времени t. Кроме того, у нас есть информация о том, как амплитуды Сiменяются во времени. Каждая амплитуда в момент (t+Dt) пропорциональна всем прочим амплитудам в момент t, умноженным на ряд коэффициентов. Обозначим U– матрицу через Uij, считая, что
Uij=<i|U|j>.
Тогда (6.34) можно записать так:
Вот как будет выглядеть динамика квантовой механики.
Нам пока мало известно об Uij. Мы знаем только, что при Dt, стремящемся к нулю, ничего не должно произойти, просто должно получиться начальное состояние. Значит, Uij®1 и Uij®0 при i№j. Иными словами, Uij®dij при Dt®0. Кроме того, мы вполне вправе предположить, что при малых At каждый из Uijобязан отличаться от dij на величину, пропорциональную Dt; так что можно писать
Однако обычно по историческим и по иным причинам из коэффициентов Кijвыносят множитель
(-i/h) ; предпочитают писать
Это, разумеется, то же самое, что и (6.36). Если угодно, это просто определение коэффициентов Hij(t).Члены Hij— это как раз производные по t2от коэффициентов Uij(t2, t1), вычисляемые при t2=t1=t,
Подставляя в (6.35) этот вид U, получаем
Суммируя члены с dij, получаем просто Ci(t), что можно перенести в другую сторону уравнения. После деления на Dt мы распознаем в этом производную
или