где ei— электрическое поле, a Pijk— пьезоэлектрические коэф­фициенты (пьезомодули), составляющие тензор. Можете ли вы сами доказать, что если у кристалла есть центр инверсии (т. е. если он инвариантен относительно замены х, у, z®-х,-y,-z), то все его пьезоэлектрические коэффициенты равны нулю.

§ 8. Четырехмерный тензор электро­магнитного импульса

Все тензоры, с которыми мы сталкивались в этой главе, были связаны с трехмерным пространством; они определялись как величины, имеющие известные трансформационные свойства при пространственных поворотах. А вот в гл. 26 (вып. 6) мы имели возможность воспользоваться тензором в четырехмерном про­странстве-времени: это был тензор электромагнитного поля Fmv. Компоненты такого четырехмерного тензора особым образом преобразуются при преобразованиях Лоренца. (Мы этого, прав­да, не делали, но могли бы рассматривать преобразования Ло­ренца как своего рода «вращение» в четырехмерном «простран­стве», называемом пространством Минковского; тогда аналогия с тем, что мы рассматривали здесь, была бы ярче.)

В качестве последнего примера мы хотим рассмотреть дру­гой тензор в четырех измерениях (t, x, y, z) теории относитель­ности. Когда мы говорили о тензоре напряжений, то опреде­ляли Sijкак компоненту силы, действующую на единичную площадку. Но сила равна скорости изменения импульса со временем. Поэтому вместо того, чтобы говорить «Sxy — это х-компонента силы, действующей на единичную площадку, пер­пендикулярную оси у», мы с равным правом могли бы сказать: «Sxy — это скорость потока x-компоненты импульса через еди­ничную площадку, перпендикулярную оси у». Другими словами, каждый член Sij представляет поток i-й компоненты импульса через единичную площадку, перпендикулярную оси j. Так обстоит дело с чисто пространственными компонентами, но они составляют только часть «большего» тензора Smvв четырехмер­ном пространстве m. и v=t, x, у, z), содержащего еще дополни­тельные компоненты Stx, S yt, Sttи т. п. Попытаемся теперь выяс­нить физический смысл этих дополнительных компонент.

Нам известно, что пространственные компоненты представ­ляют поток импульса. Чтобы найти ключ к распространению этого понятия на «временное направление», обратимся к «по­току» другого рода — потоку электрического заряда. Скорость потока скалярной величины, подобной заряду (через единичную площадь, перпендикулярную потоку), является пространствен­ным вектором — вектором плотности тока j. Мы видели, что временная компонента вектора потока — это плотность теку­щего вещества. Например, j можно скомбинировать с плотно­стью заряда jt=r и получить четырехвектор jm=(r, j), т. е. значок m у вектора jm принимает четыре значения: t, х, у, z. Это означает «плотность», «скорость потока в x-направлении», «скорость потока в y-направлении» и «скорость потока в z-направлении» скалярного заряда.

Теперь по аналогии с нашим утверждением о временной ком­поненте потока скалярной величины можно ожидать, что вместе c Sxx,Sxyи Sxz, описывающими поток x-компоненты импульса, должна быть и временная компонента Sxt, которая по идее дол­жна бы описывать плотность того, что течет, т. е. Sxtдолжна быть плотностью х-компоненты импульса. Таким образом, мы можем расширить наш тензор по горизонтали, включив в него t-компоненты, и в нашем распоряжении оказываются:

Sxt— плотность x-компоненты импульса,

Sxx — поток z-компоненты импульса в направлении оси х,

Sxy — поток y-компоненты импульса в направлении оси у,

Sxz — поток z-компоненты импульса в направлении оси z.

Аналогичная вещь происходит и с y-компонентой; у нас есть три компоненты потока: Syx, Syyи Syz, к которым нужно добавить четвертый член:

Syt — плотность y-компоненты импульса,

а к трем компонентам Szx, Szyи Szzмы добавляем

Szt — плотность z-компоненты импульса.

В четырехмерном пространстве у импульса существует также и t-компонента, которой, как мы знаем, является энер­гия. Так что тензор Sijследует продолжить по вертикали с включением в него Stx, Styи Stz, причем