Stx — поток энергии в направлении оси х, Sty — поток энергии в направлении оси у, (31.28) Stz — поток энергии в направлении оси z,

т. е. Stx— это поток энергии в единицу времени через поверх­ность единичной площади, перпендикулярную оси х, и т. д. Наконец, чтобы пополнить наш тензор, нужна еще величина Stt, которая должна быть плотностью энергии. Итак, мы расширили наш трехмерный тензор напряжений до четырехмерного тензора энергии-импульса Smv. Индекс m может принимать четыре зна­чения: t, х, у и z, которые означают «плотность», «поток через единичную площадь в направлении оси х», «поток через единич­ную площадь в направлении оси y» и «поток через единичную площадь в направлении оси z». Значок v тоже принимает четы­ре значения: t, х, у, z, которые говорят нам, что же именно течет: «энергия», x-компонента импульса», «y-компонента им­пульса» или же «z-компонента импульса».

В качестве примера рассмотрим этот тензор не в веществе, а в пустом пространстве с электромагнитным полем. Вы знаете, что поток энергии электромагнитного поля описывается век­тором Пойнтинга S=e0c2EXВ. Так что х-, у- иz-компоненты вектора S с релятивистской точки зрения являются компонентами: Six, Stни Stzнашего тензора энергии-импульса. Симметрия тензора Sijпереносится и на временные компоненты, так что четы­рехмерный тензор Smv тоже симметричен:

Smv=Svm. . (31.29)

Другими словами, компоненты Sxt, Syt, Szt, которые представ­ляют плотности х-, у- и z-компонент импульса, равны также х-, у- и z-компонентам вектора Пойнтинга S, или, как мы ви­дели раньше из других соображений, вектора потока энергии.

Оставшиеся компоненты тензора электромагнитного напря­жения Smvтоже можно выразить через электрическое и магнит­ное поля Е и В. Иначе говоря, для электромагнитного поля в пустом пространстве мы должны допустить существование тензора напряжений, или, выражаясь менее таинственно, по­тока импульса электромагнитного поля. Мы уже обсуждали это в гл. 27 (вып. 6) в связи с уравнением (27.21), но тогда мы не входили в детали.

Тем из вас, кто хочет испытать свою удаль на четырехмер­ных тензорах, может понравиться выражение для тензора Smvчерез поля:

где суммирование по a и b проводится по всем их значениям (т. е. t, x, у и z), но, как обычно в теории относительности, для суммы S и символа d принимается специальное соглашение. В суммах слагаемые со значками х, у, z должны вычитаться, а dtt=+1, тогда как dxx.=dуу = dzz=-1 и dmv=0 для всех m№v (с=1). Сможете ли вы доказать, что эта формула приводит к плотности энергии Stt=(e0/2)(E2+B2) и вектору Пойнтинга e0ЕXВ? Можете ли вы показать, что в электростатическом поле, когда В=0, главная ось напряжения направлена по электриче­скому полю и вдоль направления поля возникает натяжение (e0/2)E2и равное ему давление в направлении, перпендикуляр­ном направлению поля?

* Если не полагать с=1, как это делается здесь, то плотность энергии в принятых в книге единицах будет равна (e 0 /2)(E 2 +с 2 B 2 ) или в единицах СИ 1 / 2 [e 0 E 2 +(l/m 0 )B 2 ]. — Прим. ред.

* Эту работу, затраченную на создание поляризации электрическим полем, не нужно путать с потенциальной энергией —p 0 *Е постоянного дипольного момента p 0 в поле Е.

* Обычно для коэффициентов пропорциональности между Р и Е пользуются термином тензор восприимчивости, оставляя термин поля­ризуемость для величин, относящихся к одной частице. Прим. ред.

* В гл. 10, следуя общепринятому соглашению, мы писали Р=e 0 cЕ и величину c (хи) называли «восприимчивостью». Здесь же нам удобнее пользоваться одной буквой, так что вместо e 0 c мы будем писать a. Для изо­тропного диэлектрика a=(c-1)e 0 , где c — диэлектрическая проницаемость (см. гл. 10 §4 вып.5)