Шрифт:
Фиг. 33.3. Векторы, распространения k, k' и k" для падающей, отраженной и преломленной волн.
Электрический вектор в падающей волне может быть записан в виде
Поскольку вектор k перпендикулярен оси z, то
k·r=kxx+kyy. (33.12) Отраженную волну мы запишем как
так что ее частота равна w', волновое число k', а амплитуда Е'0. (Мы, конечно, знаем, что частота и величина вектора k в отраженной волне те же, что и в падающей волне, но не хотим предполагать даже это. Пусть это все получится само собой из математического аппарата.) Наконец, запишем преломленную волну:
Вы знаете, что одно из уравнений Максвелла дает соотношение (33.9), так что для каждой из волн
Кроме того, если показатели преломления двух сред мы обозначим через n1и n2, то из уравнения (33.10) получится
Поскольку отраженная волна находится в том же материале, то
в то время как для преломленной волны
§ 3. Граничные условия
Все что мы делали до сих пор, было описанием трех волн; теперь нам предстоит выразить параметры отраженной и преломленной волн через параметры падающей. Как это сделать?
Три описанные нами волны удовлетворяют уравнениям Максвелла в однородном материале, но, кроме того, уравнения Максвелла должны удовлетворяться и на границе между двумя материалами. Так что нам нужно сейчас посмотреть — что же происходит на самой границе. Мы найдем, что уравнения Максвелла требуют, чтобы три волны определенным образом согласовывались друг с другом.
Вот один из примеров того, что мы имеем в виду. Составляющая по оси у электрического поля Е должна быть одинакова по обеим сторонам границы. Это требуется законом Фарадея:
СXE=дB/дt, (33.19)
в чем нетрудно убедиться. Рассмотрим для этого маленькую петлю Г, которая с обеих сторон охватывает границу (фиг. 33.4).
Фиг. 33.4. Граничное условие E y 2 =E y 1 , полученное из равенства
Согласно уравнению (33.19), криволинейный интеграл от Е по петле Г равен скорости изменения потока В через эту петлю:
Вообразите теперь, что прямоугольник очень узок, так что он замыкается в бесконечно малой области. Если при этом поле В остается конечным (нет никаких причин ему быть бесконечным!), то поток через эту область будет равен нулю. Таким образом, контурный интеграл от Е должен быть нулем. Если y-компоненты поля на двух сторонах границы равны Еy1и Еy2, а длина прямоугольника равна l, то мы получаем
E y 1 l-E y 2 l=0
или
Еу1=Еу2, (33.20)
как мы и ожидали. Это условие дает нам одно соотношение между полями в трех волнах.