Шрифт:
ky/k =sinqi, ky/k"=sinqt. (33.46)
Но ввиду уравнения (33.44) мы получаем
n2sinqt=nisinqi;, (33.47)
т. е. уже известный нам закон Снелла для преломления. Если же показатель преломления не вещественный, то волновые числа оказываются комплексными и нам следует воспользоваться
(33.45). [Конечно, мы могли бы определить углы qi. и qt из
(33.46), и тогда закон Снелла (33.47) был бы верен и в общем случае. Однако при этом углы тоже стали бы комплексными числами и, следовательно, потеряли бы свою геометрическую интерпретацию как углы. Уж лучше описывать поведение волн соответствующими комплексными величинами kx или k"x..]
До сих пор мы не обнаружили ничего нового. Мы доставили себе только простенькое развлечение, выводя очевидные вещи из сложного математического механизма. А сейчас мы готовы найти амплитуды волн, которые нам еще не известны. Используя результаты для всех w и k, мы можем сократить экспоненциальный множитель в (33.38) и получить
е0+е'0=е"0. (33.48)
Но поскольку мы не знаем ни Е'0, ни Е"9, то необходимо еще одно соотношение. Нужно использовать еще одно граничное условие. Уравнения для Ехи Еyне помогут, ибо все Е имеют только одну z-компоненту. Так что мы должны воспользоваться условием на В. Попробуем взять (33.29):
Bx2 =Bx1. Согласно условиям (33.35)—(33.37),
Вспоминая, что w" =w'= w и k"y=k'y=ky, получаем
е 0 +е' 0 =е" 0 .
Но это снова уравнение (33.48)! Мы напрасно потратили время и получили то, что уже давно нам известно.
Можно было бы обратиться к (33.30) Bz2=Вz1, но у вектора В отсутствует z-компонента! Осталось только одно условие — (33.31) Ву2=Ву1. Для наших трех волн
Подставляя вместо Ei,Erи Etволновые выражения при x=0 (ибо дело происходит на границе), мы получаем следующее граничное условие:
Учитывая равенство всех w и ky , снова приходим к условию kxE0 + k'xE'0=k"xE"0. (33.50)
Это дает нам уравнение для величины Е, отличное от (33.48). Получившиеся два уравнения можно решить относительно E'0 и Е"0. Вспоминая, что k’x=-kx, получаем
Вместе с (33.45) или (33.46) для k”xэти формулы дают нам все, что мы хотели узнать. Следствия полученного результата мы обсудим в следующем параграфе.
Если взять поляризованную волну с вектором Е, параллельным плоскости падения, то Е, как это видно из фиг. 33.7, будет иметь как x-, так и y-компоненту. Вся алгебра при этом будет менее хитрая, но более сложная. (Можно, правда, несколько уменьшить работу в этом случае, выражая все через магнитное поле, которое целиком направлено по оси z.)
Фиг. 33.7. Поляризации волн, когда поле Е в падающей волне параллельно плоскости падения.