Приближенная оценка в супермаркете

Рассмотрим пример из реальной жизни. Придя в магазин, вы когда-нибудь интересовались общей суммой покупки до того, как кассир пробил чек? Для оценки общей суммы я использую технику округления цен до ближайших 50 центов. Например, пока кассир складывает числа, показанные слева, я мысленно суммирую числа, показанные справа.

1,39 1,50

0,87 1,00

2,46 2,50

0,61 0,50

3,29 3,50

2,99 3,00

0,20 0,00

1,17 1,00

0,65 0,50

2,93 3,00

3,19 3,00

____________

19,75 19,50

Моя итоговая цена, как правило, колеблется в пределах одного доллара от точного значения.

Способ получения приближенной оценки при вычитании такой же, как и при сложении: округляем до ближайшей тысячи или сотни (последнее предпочтительнее).

Как видите, округление до ближайшей тысячи делает ответ не совсем корректным. Благодаря округлению второй цифры (до сотен в нашем примере) погрешность обычно колеблется в пределах 3 %. В данной задаче приближенное решение отклоняется от истинного ответа лишь на 52, поэтому относительная погрешность составляет 2 %. Если округлять третью цифру, то относительная погрешность обычно будет меньше 1 %.

Например:

Путем округления третьей цифры вместо второй можно значительно улучшить точность оценки.

Первый и самый важный шаг расчета приближенного ответа для задачи на деление — это определить величину частного.

Следующий шаг — округление большего из чисел до ближайшей тысячи, то есть замена 57 867 на 58 000. Деление 58 на 6 дает 9 с остатком. Но самый важный элемент решения данной задачи — это поиск местоположения цифры 9.

Например, в результате умножения 6 х 90 получается 540, тогда как 6 х 900 = 5400. Оба варианта дают слишком малые числа. Но 6 х 9000 = 54 000, что достаточно близко к делимому. Это говорит о том, что ответ будет 9 000 плюс «что-то». Можно прикинуть это «что-то», сначала отняв 58–54 = 4. В этом случае вам нужно снести 0 и разделить 40 на 6 и т. д. Но если вы внимательны, то поймете, что деление 4 на 6 дает 4/6 = 2/3, что приблизительно равно 0,667. Поскольку ваш ответ «9 000 плюс что-то», теперь можно сказать «9 667». В действительности точный ответ будет 9 645.

Чертовски близко!

Деление чисел на таком уровне кажется довольно простым. Но как быть с большими задачами на деление? Скажем, мы хотим посчитать, забавы ради, сколько зарабатывает профессиональный спортсмен в день, если его зарплата за год составляет 5 000 000 долларов.

Первым делом нужно оценить примерный ответ. Этот игрок зарабатывает каждый день тысячи? Ну, если 365 х 1000 = 365 000, то получается слишком мало.

Или десятки тысяч? Ну, 365 х 10 000 = 3 650 000. Это уже больше похоже на правду. Для получения приближенной оценки разделите первые две цифры (50 на 36), и у вас получится 1 и 14/36, или 1 и 7/18. Так как 70 — это примерно 4 раза по 18, выходит, что спортсмен зарабатывает около 14 000 долларов в день. Точный ответ — 13 698,63 доллара. Неплохая точность. (И неплохая зарплата!)

А вот астрономический расчет. Сколько секунд необходимо свету, чтобы долететь от Солнца до Земли? Свет перемещается со скоростью 186 282 мили в секунду, а Солнце находится на расстоянии (в среднем) 92 960 130 миль от Земли. Я сомневаюсь, что вы очень хотите решить эту задачку вручную.

К счастью, приближенную оценку ответа достаточно легко получить. Сначала упростим задачу.

Теперь разделим 930 на 186, что даст нам 5 без остатка. Потом добавим два 0, которые забрали у 93 000, и получим 500 секунд. Точный ответ — 499,02 секунды. Этот пример показывает, что приближенная оценка может заслуживать большого уважения.

Для приблизительной оценки ответов в задачах на умножение используются примерно те же приемы, что и описанные выше. Например:

Округление до ближайшего кратного 10 значительно упрощает задачу, но ответ все еще на 252 меньше истинного (погрешность около 5 %). Можно улучшить ситуацию, округлив оба числа на одинаковую величину в разных направлениях.