Шрифт:
В ходе доказательства полезно отметить: чтобы показать, что данный гомоморфизм двух конечных групп одного и того же порядка (то есть для групп с одинаковым числом элементов) — это изоморфизм, достаточно проверить, что выполняется всего одно из двух свойств (инъективность или сюръективность), и второе будет выполняться автоматически (докажите это утверждение самостоятельно).
Также упомянем следующее предложение.
Предложение. Гомоморфизм ф: С → Н является изоморфизмом тогда и только тогда, когда существует другой гомоморфизм ψ: G → Н такой, что результатом последовательного применения φ и ψ является тождественное преобразование на группе G (то есть преобразование, которое оставляет все элементы С неизменными); это же верно для композиции φ и ψ на группе Н.
Для данного φ функция ψ определяется как функция, которая каждому элементу h группы Н ставит в соответствие единственный элемент g группы G такой, что φ(g) = h.
Две группы G и Н называются изоморфными, если между ними существует изоморфизм (обозначается G ≃ Н).
Теперь мы можем доказать теорему о структуре групп. Пусть G — конечная абелева группа, порожденная двумя элементами. Наша задача — определить изоморфизм между G и циклической группой либо прямым произведением двух циклических групп. Вначале мы покажем: всегда можно выбрать два порождающих элемента так, что порядок одного из них будет делителем порядка другого.
Начнем с леммы о циклических группах, порядок которых равен произведению двух взаимно простых чисел. Далее для простоты в нижнем индексе нейтральных элементов мы не будем указывать группу, к которой они принадлежат, а элементы, над которыми выполняется операция *, будем просто записывать рядом друг с другом.
129
Лемма 1. Допустим, что порядок элемента а можно записать как n — mr, где m и r — взаимно простые числа. Тогда группа <а> изоморфна прямому произведению циклических групп <аm> и <а'>, которые имеют порядок r и m соответственно.
Так как m и r взаимно простые, по соотношению Безу (см. стр. 91) обязательно существуют два целых числа u и v такие, что um + vr = 1. Определим отображение
φ:<a>→ <аm> × <a'>,
которое ставит в соответствие элементу а группы <а> пару ((am)ui,(ar)vi). Так как а имеет порядок n, получим, что аi = аi+kn для любого целого k. Первое, что нужно доказать — отображения φ для аi и аi+kn совпадают. Для этого заметим, что
(am)u(i+kn) = (am)ui(an)ukm = (am)uieukm = (am)ui
так как аn = е. Это же верно и для второй составляющей. Следовательно, можно заключить: φ(аi) = φ(аi+kn). Отображение определено полностью. Теперь покажем, что это отображение является гомоморфизмом групп. Условие φ(е) = е не представляет никаких затруднений: подставив i = 0 в расчетную формулу φ, получим
φ(e) = φ(a0) = ((am)0, (ar)0) = (e, e) = e.
Рассмотрим второе условие:
φ(aiaj) = φ(ai+j) = ((am)u(i+j), (ar)u(i+j)) = ((am)ui(am)uj, (ar)vi(ar)vj) = ((am)ui(ar)vi, (am)ui(ar)vi) = φ(ai) φ(aj),
так как в прямом произведении двух групп все действия выполняются почленно (см. стр. 70). Это доказывает, что φ — гомоморфизм. Докажем, что φ — изоморфизм.
Для этого заметим, что <а> и <аm> х <аr> — группы одного порядка. В самом деле, элементы аm и аr имеют порядок r и m соответственно, так как
(аm)r = (аr)m == amr = an
а элемент а имеет порядок n по условию. Следовательно, порядок <аm> х <аr> равен произведению r и m, то есть n, и равен порядку <а>.
130
С учетом этого достаточно доказать, что φ обладает инъективностью, то есть из φ(аi) = е следует аi = е. Если φ(аi) — нейтральный элемент, то аmui = аrvi = е. Это означает, что n является делителем mui и rvi, следовательно, n также будет делителем суммы этих чисел. Но по соотношению Безу имеем mui + rvi = (mu + rv)i = i. Следовательно, n является делителем i, что равносильно аi = е, следовательно, отображение φ является инъективным. Лемма доказана.