Обратите внимание, что верно и обратное: если r и m — взаимно простые числа, то прямое произведение двух циклических групп порядка r и m изоморфно циклической группе порядка гш, так как лемма устанавливает изоморфизм между ℤ/r х ℤ/m и ℤ/rm. Теперь посмотрим, как можно использовать эту лемму для выбора порождающих элементов G таким образом, чтобы порядок одного из них был делителем порядка другого. Выберем два порождающих элемента а и b произвольным образом.

Напомним: так как G коммутативная группа, все ее элементы можно представить в виде aibi, где i и j — целые числа, которые удовлетворяют условию 0 < i < порядок (а) и 0< j < порядок (b) (см. стр. 72).

Это же условие можно выразить другим, более сложным способом: функция <а> × <b> → G, которая ставит в соответствие пару (аi, bi) элементу aibi группы G, является сюръективной. Разумеется, основная сложность заключается в том, что нет никакой причины, по которой эта функция также должна быть инъективной.

Следовательно, запись аibi может быть не единственной, и если мы рассмотрим все члены аibi, то некоторые элементы G будут учтены более одного раза. Об этой проблеме мы поговорим чуть позже.

Рассмотрим порядок а и b. По основной теореме арифметики (стр. 89) оба этих числа можно разложить на простые множители. Разделим эти множители на две группы в зависимости от того, являются ли они одновременно делителями порядков а и b или нет. Чтобы читатель смог лучше понять рассуждения, ограничимся тем, что рассмотрим следующую ситуацию: существует единственное простое число р, которое одновременно является делителем порядков а и b (в общем случае рассуждения будут аналогичными, но все обозначения будут содержать верхние индексы, что затруднит чтение).

Выберем наибольшие степени р и запишем порядок (а) = рem, порядок (b) = рfn, где e и f — два положительных целых числа. Также предположим, что е < f. Обратите внимание, что m и n взаимно простые: если бы они имели общий простой делитель, он также был бы делителем порядков а и b, следовательно, был бы равен р. Это же верно для рe и m, а также для рf и n.

Применив лемму к циклическим группам, порожденным а и b, получим изоморфизмы <a>≃<am> × <apr> и <b>≃<bn> × <bpt>. Следовательно:

<a> × <b> ≃ <am> × <ape> × <bn> × <bpf>. (*)

131

Рассмотрим три последних множителя, которые имеют порядок m, pf и n соответственно. Так как m и pf взаимно простые, из леммы следует, что прямое произведение <apr> × <bn> изоморфно циклической группе порядка pfm. Так как n и pfm также взаимно простые, мы можем вновь применить эту лемму и показать, что произведение трех множителей изоморфно циклической группе <х> порядка pfmn.

Примем у = аm. Порядок этого элемента равен рe. Из формулы (*) следует, что прямые произведения <а> <b> и <х> <у> изоморфны, следовательно, существует сюръективное отображение <х> <у> на G. Иными словами, х и у порождают G.

Теперь нетрудно показать, что порядок (х) = pfmn делится на порядок (у) = рe, так как мы предположили, что е < f. Мы доказали следующую лемму [2] :

Продолжим доказательство.

Согласно предыдущей лемме мы можем выбрать порождающие элементы х и у группы G так, что порядок (у) = l и порядок (х) будет кратным l и равным, к примеру, lk. Все элементы G можно будет записать в виде 0 ≤ i < lk у 0 ≤ у< l, где 0 < i < lk и 0 < j< l.

Если бы две степени порождающих элементов совпадали, эта запись была бы не единственной. К примеру, если бы у3 равнялось х2, то х2у4 и х4у были бы двумя разными способами записи одного и того же элемента. Обозначим через t наименьшее целое положительное число такое, что уt совпадает с xs для некоторого целого s. Мы знаем, что t < I, так как уl = е = хlk.

132

В этой новой нотации каждый элемент G можно записать единственным образом в виде xiyj, где 0 < i < lk и 0 < j < t. В самом деле, если бы равенство xiyj = xiyj выполнялось для какого-либо 0< j' ≤ j < t, то мы получили бы хi'-i = уj-j', или, что аналогично, уj-j' было бы степенью х. Так как j’ — j строго меньше t, эта величина может равняться только нулю, следовательно, j = j' и i' = i, так как хi'-i = е при —lk < i' —i < lk.