Это доказывает, что порядок G равен произведению двух верхних границ показателей степени i и j, то есть lkt.

Обозначим через r порядок элемента уt. Так, е = (уt)r = уtr. Так как у — элемент порядка l, мы знаем, что l ≤ tr. Мы хотим доказать, что l = tr, следовательно, надо исключить случай l < tr. Будем рассуждать следующим образом: если t < tr, то существует целое число u < r такое, что l заключено между tu и t(u + 1), то есть выполняется равенство tu < l < t(u + 1). Обратим внимание на величину t(u + 1) — l.

С одной стороны, это целое положительное число, меньшее t, так как 0 < t(u + 1) — l < t(u + 1) — tu = у.

С другой стороны, имеем равенства yl(u+1)-l = yt(u+1)(u + i )= xs(u+1), так как у имеет порядок l, и уt = xs.

Таким образом, мы доказали, что существует целое положительное число, меньшее t, такое, что у, возведенное в эту степень, равно некоторой степени х. Этот вывод абсурден, так как, по определению, t — наименьшее целое число, обладающее этим свойством. Таким образом, мы исключили случай l < tr. Имеем l = tr. Так, е = уt = ylr = xsr.

В дальнейших рассуждениях применим следующую лемму.

Достаточно доказать эту лемму для положительных d. Так как n — наименьший целый показатель степени, для которого g, возведенный в эту степень, совпадает с нейтральным элементом, мы знаем, что n < d. Следовательно, мы можем разделить duann получить d = рп + r, где 0 < r < n — остаток от деления.

Тогда е = gd = gpn + r = (gn)p gr = gr, так как gn = e. Таким образом, gr = e, и это означает, что r = 0 — в противном случае порядок g будет равняться не n, а r. Лемма доказана.

Так как xsr = е, то, по лемме 3, sr нацело делится на порядок (х) = Ik, то есть существует v такое, что sr = Ikv. Подставив в это выражение значение f, которое

133

мы только что вычислили, получим sr = trkv. Так как r — порядок элемента уt, это ненулевое целое число. Разделив на него обе части равенства, получим s = tkv.

В этом, последнем, разделе мы докажем, что группа G изоморфна прямому произведению циклических групп, порожденных х и x– vky, где v — целое число, определенное в предыдущем разделе. Имеем элементы порядка lk и t соответственно.

В первом случае доказательство не требуется. Во втором случае заметим, что

(x– vky)t = x– vkt yt = x– vkt xs = xs-vkt = e,

так как yt = xs и s = vkt. Если бы существовало другое целое число t' < t, для которого (х– vky)t' = е, то мы получили бы равенство у1 =x~vkt. Однако это выражение противоречит определению f как наименьшего целого числа, для которого у1 — степень х. Следовательно, x~vky имеет порядок f, а порядок прямого произведения <х>

<x~vky> равен Ikt.

Рассмотрим функцию φ:<x>×<x– vk>→G которая ставит в соответствие пару (хi, (x– vky)j) элементу xi-vkyj. Проведя расчеты, очень схожие с теми, что были выполнены при доказательстве леммы 1, получим, что φ определено однозначно и является гомоморфизмом групп (предлагаем читателю провести необходимые расчеты самостоятельно). Так как группы G и <х> х <x– vk> имеют один и тот же порядок, то чтобы показать, что φ — изоморфизм, достаточно доказать, что это отображение является инъективным, то есть доказать, что из xi-vkyj = e следует хi = е и (x– vky)j = е. Последнее равенство эквивалентно равенству yj = x– vkj, таким образом, уj является степенью х. Проведя рассуждения, по сути, аналогичные тем, что мы выполнили при доказательстве леммы 3, увидим, что j должно быть кратно t.

Следовательно, существует j' такое, что j = tj'. Имеем:

e = хi-vk уi = хi-vktj' уtj' = хi-(vkt)j'xsj' = хi-sj' хsj' = хi,

так как уt = хs и s = ukt. Следовательно, как и требовалось, хi = е. Мы показали, что группа G изоморфна прямому произведению двух циклических групп. Если их порядки выражаются взаимно простыми числами, эта группа изоморфна циклической группе. Теорема доказана.

134

ARBONES, J., MlLRUD, P., La armoma es numerica. Musica y matematicas, Barcelona, RBA, 2010.

AUBIN, D., «The Withering Immortality of Nicolas Bourbaki: a Cultural Connector at the Confluence of Mathematics, Structuralism and the Oulipo in France», Science in Context, 10 (2), 1997, 297-342.

BERTHOLET, D., Claude Levi-Strauss, Granada, Universidad de Granada, 2003.

BOREL, A. ET AL., Andre Weil (1906-1998), numero especial de la Gazette des Mathematiciens, 1999.