Пренебрежение или незнание истоков школьного математического образования обедняет исследование любой современной проблемы и в конечном итоге приводит к менее глубоким результатам. Методика, как и любая другая наука, имеет свою историю. Известно, что без истории предмета нет и теории предмета, а без неё нет и самого предмета. Вспомните слова В. Г. Белинского: «Мы вопрошаем и допрашиваем прошедшее, чтобы оно объяснило нам наше настоящее и намекнуло о нашем будущем».

Отечественное математическое образование, которым мы, по праву гордимся, имеет славную и давнюю историю. В России создана уникальная учебная литература для школы по арифметике, алгебре, тригонометрии, геометрии, элементам математического анализа и методике их обучения. Во многих трудах представлен богатый опыт по преподаванию различных тем школьного курса математики, много дидактических находок и методических приёмов. С удовольствием представим некоторые интересные, поучительные, серьёзные работы.

– Колягин, Ю. М. Русская школа и математическое образование. – М.: Просвещение, 2001. – 318 с.

– Левитин, Е. С. Математическое образование и математика в современной цивилизации. Часть I. Математическое образование. – М.: КРАСАНД, 2012. – 512 с.

– Полякова, Т. С. История математического образования в России. – М.: МГУ, 2002. – 624 с.

– Российское математическое образование / редакторы-составители А. Карп, Б. Вогели. – М.: МПГУ, 2017. – 576 с.

Следующим, не менее важным, компонентом методического исследования является раскрытие психолого-педагогических основ рассматриваемой проблемы.

Идея о том, что методика обучения математике невозможна без учёта психолого-педагогических основ обучения имеет давнюю историю. Например, известный российский математик-педагог С. И. Шохор-Троцкий ещё в 1911 году на I-ом Всероссийском съезде преподавателей математики выступил с докладом, который назывался «Требования, предъявляемые психологией к математике как к учебному предмету». Вопросам психологического обоснования методики преподавания математики посвящены многочисленные работы Э. Л. Торндайка, в частности его книга «Психология алгебры» (М.: Учпедгиз, 1934). Этим аспектам посвящены исследования отечественных авторов: В. А. Гусева, Т. В. Габай, Я. И. Груденова, И. А. Зимней, Н. В. Метельского, М. В. Потоцкого, З. И. Слепкань, Н. Ф. Талызиной, Л. М. Фридмана, М. А. Холодной, И. С. Якиманской и мн. др.

Анализ содержания научно-методических исследований показывает, что существует некое противоречие. С одной стороны, практически, все авторы убеждены в необходимости психолого-педагогических основ, а с другой стороны, многие не используют их в должной мере, недооценивают или даже полностью игнорируют. А ведь может так случиться, что предлагаемая автором методика противоречит основным законам, положениям психологии и педагогики. Более того, эта новая методика способна нанести даже вред общему развитию и воспитанию учащихся. При этом автор, по своему незнанию или непониманию сути методического исследования, может и не подозревать о таких печальных последствиях своей работы, внедрённой в учебный процесс.

Одним из важных критериев оценки результата исследования по методике является проверка того, какой психолого-педагогической теорией подтверждаются выводы и рекомендации, предлагаемые в нём. Назовём в качестве примера лишь несколько наиболее значимых теорий.

1) Теория учебной деятельности (В. В. Давыдов, А. Н. Леонтьев, С. Л. Рубинштейн и др.).

2) Теория поэтапного формирования умственных действий (П. Я. Гальперин и его ученики).

3) Теория развивающего обучения (В. В. Давыдов, Д. Б. Эльконин и др.).

4) Теория общего развития в обучении (Л. С. Выготский, Л. В. Занков, М. В. Зверев и др.).

5) Личностно-ориентированное обучение (И. С. Якиманская и др.).

6) Теория индивидуально-психологических особенностей личности (А. Ф. Лазурский, В. А. Крутецкий, В. С. Мерлин, В. Д. Небылицын, Б. М. Теплов и др.).

7) Теория формирования приёмов усвоения знаний и учебной работы (Д. Н. Богоявленский, Е. Н. Кабанова-Меллер, З. И. Калмыкова, Н. А. Менчинская, Н. Ф. Талызина и др.).

8) Теория проблемного обучения (В. М. Вергасов, И. А. Ильницкая, И. Я. Лернер, А. М. Матюшкин, М. И. Махмутов и др.).

9) Укрупнение дидактических единиц (П. М. Эрдниев).

10) Теории формирования личности на разных возрастных этапах (Л. И. Божович, И. С. Кон, А. В. Мудрик, А. В. Петровский, Д. И. Фельдштейн и др.) и т. д.

В научных исследованиях, в том числе и по методике обучения математике, чрезвычайно важным является преемственность исследования, его место и роль в общей научной системе. В методических исследованиях общие научные методы применяются для решения проблем в области обучения. Значит, содержание методического исследования должно опираться на разработанные модели процесса обучения. Напомним ещё раз, что в дидактике обучением называется система педагогических воздействий, определяемая целью, содержанием, методами, формами и средствами предъявления учебного материала. При этом выделяют два основных аспекта: процессуально-функциональный и содержательный. На рисунке 1 представлена одна из возможных моделей структуры процесса обучения, предложенная Н. В. Метельским.

Рисунок 1 достаточно полно отражает основные компоненты современной системы обучения. Изучение любой системы, в том числе и системы обучения, требует соответствующего комплексного подхода, суть которого заключается в том, что он ориентирует исследование на раскрытие целостности объекта, рассмотрение всех его компонентов, выявление многообразных связей между ними.

Проблемы методических исследований, как правило, определяются потребностями школьной (или вузовской) практики, и результаты многих методических исследований внедряются, с успехом используются в ней. Таким образом, при проведении исследования по методике нужно хорошо знать и опираться на соответствующий педагогический опыт.