Шрифт:
В квантовой механике важны как сам вид интеграла S, так и его значение в точке экстремума. Вычислим экстремальное значение S для нескольких случаев.
Задача 2.1. Для свободной частицы лагранжиан L=mx^2/2. Покажите, что действие, соответствующее классическому движению такой частицы,
S
кл
=
m
2
(xb– xa)^2
tb– ta
(2.8)
Задача 2.2. Лагранжиан гармонического осциллятора L=(m/2)(x^2-x^2). Покажите, что классическое действие
S
кл
=
m
2sin T
(x
2
a
+x
2
b
) cos T-2x
a
x
b
(2.9)
где T=tb– ta.
Задача 2.3. Вычислите Sкл для частицы, на которую действует постоянная сила F, т.е. когда лагранжиан L=mx^2/2-Lx.
Задача 2.4. В классической механике импульс
p=
L
x
.
(2.10)
Покажите, что в начальной точке траектории импульс равен
L
x
x=xa
=
Sкл
xa
.
(2.11)
Замечание. Для этого надо рассмотреть изменение соотношения (2.6) при варьировании в конечных точках.
Задача 2.5. Энергия в классической механике определяется выражением
E=L-xp.
(2.12)
Покажите, что в конечной точке траектории энергия равна
E(x
b
)-x
b
L
x
x=xb
=
Sкл
tb
.
(2.13)
Замечание. Вариация по времени в конечной точке приводит к изменению траектории, так как все траектории должны быть классическими.
§ 2. Квантовомеханическая амплитуда вероятности
Теперь мы можем сформулировать квантовомеханическое правило вычисления амплитуды вероятности. Для этого необходимо установить, какой вклад вносит каждая траектория в полную амплитуду перехода из точки a в точку b. Дело в том, что вклад дают сразу все траектории, а не только та, которая соответствует экстремальному действию. При этом вклады отдельных траекторий равны по величине, но различаются значением фазы; фаза данного вклада будет равна действию S для этой траектории, выраженному в единицах кванта действия h. Таким образом, подводим итог: вероятность P(b,a) перехода частицы из точки xa, где она находилась в момент времени ta, в точку xb, соответствующую моменту времени tb, равна квадрату модуля амплитуды перехода P(b,a)=|K(b,a)|^2. Эта амплитуда представляет собой сумму вкладов [x(t)] от каждой траектории в отдельности, т.е.
K(b,a)=
[x(t)]
по всем
возможным
переходам
из a в b
(2.14)
где суммирование выполняется по всем траекториям, соединяющим точки a и b. Фаза вклада каждой траектории пропорциональна действию S:
[x(t)]=const·e
(i/h)S[x(t)]
(2.15)
Действие S здесь то же самое, что и в случае соответствующей классической системы [см. выражение (2.1)]. Константу можно, выбрать из соображений удобства нормировки величины K; это мы сделаем после того, как более строго (с математической точки зрения) рассмотрим, что понимается под суммой по всем траекториям в соотношении (2.14).
§ 3. Классический предел
Прежде чем перейти к более строгому рассмотрению, сравним наше квантовое правило с классическим. С первого взгляда остаётся совершенно неясным, каким образом в классическом приближении наиболее важной окажется всего лишь одна траектория, тогда как из выражения (2.15) следует, что все траектории вносят в амплитуду одинаковый вклад, хотя и с различными фазами. Однако классическое приближение соответствует случаю, в котором размеры, массы, интервалы времени и другие параметры системы настолько велики, что действие S во много раз превосходит постоянную h= 1,05·10– 27 эрг·сек. В этом случае фаза S/h каждого парциального вклада представляет собой чрезвычайно большой угол. Действительная (или мнимая) часть функции равна косинусу (или синусу) этого угла и в равной степени может оказаться как положительной, так и отрицательной. Если теперь, как показано на фиг. 2.1, мы сдвинем траекторию на малую величину x (малую в смысле классических масштабов), то изменение действия S также будет небольшим в классическом смысле, однако отнюдь не малым при сопоставлении с величиной h. Эти небольшие изменения траектории будут, вообще говоря, приводить к огромным изменениям фазы, так что её косинус и синус совершают очень быстрые и частые колебания между положительными и отрицательными значениями. Таким образом, если одна траектория даёт положительный вклад, то другая, бесконечно близкая к ней (в классическом смысле), даёт такой же отрицательный вклад, так что в целом не возникает никакого вклада.
Фиг.2.1. Классическая траектория 1 [x=x(t)].
Это такая траектория, для которой интеграл действия S принимает минимальное значение. Если эта траектория изменяется на величину x(t) (траектория 2), то в первом приближении по x интеграл не претерпевает никаких изменений. Это и определяет уравнение движения.
В квантовой механике амплитуда вероятности перехода из точки a в точку b равна сумме амплитуд, соответствующих всем возможным траекториям. Амплитуда вероятности для заданной траектории, т.е. eiS/h, имеет фазу, пропорциональную действию. Если действие очень велико по сравнению с постоянной Планка h то для близлежащих траекторий, таких, как 3 и 4, оно лишь незначительно отличается по своей величине, однако вследствие малости постоянной h различие в фазах в этих случаях будет очень большим. Вклады от таких траекторий взаимно уничтожаются. Только в непосредственной близости к классической траектории x(t), где варьирование траекторий лишь незначительно изменяет действие S, близлежащие траектории, такие, как 1 и 2, дают вклады с одинаковыми фазами, которые вследствие интерференции усиливают друг друга. Вот почему приближение классической физики, т.е. необходимость рассмотрения только одной траектории x(t), справедливо, когда действие S очень велико по сравнению с постоянной h.