Шрифт:
K(b,a)=
b
a
e
(i/h)S[b,a]
Dx(t)
(2.25)
и называть её интегралом по траекториям. Это обстоятельство отметим введением знака D вместо оператора дифференциала d. Лишь изредка мы будем возвращаться к выражению типа (2.22).
Задача 2.6. Класс функционалов, на котором можно определить интегралы по траекториям, оказывается неожиданно широким. До сих пор мы рассматривали лишь функционалы типа (2.15). Теперь перейдём к рассмотрению совсем иного типа функционалов, возникающих в одномерной релятивистской задаче. Предположим, что движущаяся по прямой частица может перемещаться только вперёд и назад со скоростью света. Для удобства выберем такие масштабы измерений, чтобы скорость света, масса частицы и постоянная Планка равнялись единице. Тогда в плоскости (x,t) все траектории движения такого осциллятора имеют наклон ±/4, как показано на фиг. 2.4. Амплитуду, соответствующую одной из таких траекторий, можно определить следующим образом: разделим время на малые интервалы длиной и предположим, что изменение направления движения может происходить только на границе этих интервалов, т.е. в моменты времени t=ta+n, где n — целое число. В такой релятивистской задаче амплитуда перехода вдоль рассматриваемой траектории отличается от амплитуды (2.15); правильным в данном случае будет выражение
=(i)
R
,
(2.26)
где R — число точек поворота на траектории.
Фиг. 2.4. Траектория релятивистской частицы, движущейся в двух измерениях.
Это зигзагообразная линия с прямолинейными отрезками. Наклон прямых постоянен по величине и различается только знаком в обеих частях зигзага. Амплитуда вероятности для некоторой частной траектории, так же как и ядро, описывающее переход из точки a в точку b, зависит от числа поворотов R на траектории; это следует из выражений (2.26) и (2.27).
В качестве упражнения читатель может использовать это выражение для того, чтобы вычислить ядро K(b,a), суммируя вклады от траекторий с одной, двумя и т.д. точками поворота. Это даст
K(b,a)=
N(R)(i)
R
,
R
(2.27)
где N(R) — число возможных траекторий с R точками поворота. Лучше всего вычислять четыре отдельные величины K, а именно: K++(b,a)— амплитуду перехода из точки a, где скорость частицы была положительной (т.е. направленной вдоль оси x), в точку b, в которой её скорость также положительна; K+-(b,a) — амплитуду перехода из точки a, где частица имела отрицательную скорость, в точку b, куда частица приходит с положительной скоростью; аналогично определены амплитуды K– + и K– -.
Предположим теперь, что время измеряется в единицах h/mc^2. Покажите, что если интервал времени очень велик (tb– ta >> h/mc^2), а средняя скорость мала [xb– xa << c(tb– ta)], то ядро [если не считать множителя exp (imc^2/h)(ta– tb)] совпадает с выражением для свободной частицы [см. (3.3)]. Приведённые здесь выражения амплитуды и ядра справедливы для одномерного движения свободной релятивистской частицы, и результат совпадает с решением уравнения Дирака для этого случая.
§ 5. Последовательные события
Правило для двух событий. В этом параграфе мы выведем важный закон сложения амплитуд вероятностей событий, которые происходят последовательно во времени. Предположим, что tc — некоторый момент времени в промежутке между ta и tb. Тогда действие, соответствующее произвольной траектории между точками a и b, может быть записано как
S[b,a]=
S[b,c]+
S[c,a].
(2.28)
Это следует из определения действия как интеграла по времени от функции Лагранжа L, а также из того, что L не зависит от производных более высокого порядка, чем скорость. (В противном случае нам пришлось бы в точке c определять значения скорости и, возможно, производных более высокого порядка.) Используя равенство (2.25), которым определяется ядро, можно записать
K(b,a)=
exp
i
h
S[b,c]+
i
h
S[c,a]
Dx(t).
(2.29)
Фиг. 2.5. Вычисление суммы по траекториям.
Один из способов, которым может быть вычислена сумма по всем траекториям, заключается в суммировании по всем траекториям, проходящим через точку xc в момент времени tc, и в последующем суммировании по точкам xc.
Для каждой траектории, выходящей из точки a в точку b через c, амплитуда вероятности равна произведению двух сомножителей: 1) амплитуды перехода из точки a в точку c и 2) амплитуды перехода из точки c в точку b. Следовательно, это справедливо также и для суммы по всем траекториям, проходящим через точку c: полная амплитуда перехода из точки a в точку b через c равна K(b,c)K(c,a). Поэтому полную амплитуду перехода из точки a в точку b, т.е. соотношение (2.31), мы получим путём суммирования по всем альтернативам (по всем значениям xc).
Точка c разделяет любую траекторию на два участка. Как показано на фиг. 2.5, концами первого будут xa и xc=x(tc), а концами второго — xc и xb. Можно проинтегрировать по всем траекториям между точками a и c, а потом по всем траекториям между точками c и b и, наконец, результат проинтегрировать по всем возможным значениям xc. При выполнении первого интегрирования S[b,c] является постоянной. Поэтому результат можно записать в виде