Оказалось, что некоторые задачи представляют определённые трудности даже для студентов-физиков, несмотря на то, что для решения этих задач, строго говоря, не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы как по физике, так и по математике.

Для третьего издания книга была частично переработана и дополнена в соответствии с современными тенденциями развития методов преподавания физики и с учётом действующей программы по физике для поступающих в вузы.

Авторы надеются, что книга окажется полезной для учащихся старших классов средней школы, профессионально-технических училищ и техникумов, а также для преподавателей и студентов вузов.

I. КИНЕМАТИКА

Кинематика изучает «геометрию» движения. Что мы под этим понимаем? «Геометрия» движения - это математическое описание движения тел без анализа причин, его вызывающих. Другими словами, без выяснения вопроса, почему рассматриваемое движение происходит именно так, а не иначе, устанавливается математическое соотношение между его различными характеристиками, такими как перемещение, пройденный путь, скорость, ускорение, время движения.

Движение материальной точки всегда рассматривается в какой-либо системе отсчёта. Положение материальной точки можно определить, если задать её радиус-вектор r или, что эквивалентно, три координаты x, y, z - проекции радиус-вектора на оси декартовой системы координат. Движение математически описано полностью, если известен радиус-вектор как функция времени r(t), т.е. известны три скалярные функции x(t), y(t), z(t). Например, для равномерного движения, т.е. движения с постоянной скоростью v, функция r(t) имеет вид

r(t)

=

r

+

vt

,

(1)

а для равнопеременного движения с ускорением a

r(t)

=

r

+

vt

+

at^2

2

.

(2)

В этих формулах r характеризует начальное положение точки, т.е. r=r(t)|t=0=r(0), v - начальная скорость.

Подчеркнём, что в кинематике ускорение считается заданным. Ускорение находится либо опытным путём, либо расчётным с помощью законов динамики, когда известны силы, определяющие характер движения. Забегая вперёд, отметим, что уравнение (1) описывает движение материальной точки в инерциальной системе отсчёта, если на точку не действуют силы (или все действующие силы уравновешиваются), а уравнение (2) - если действующие силы постоянны. В последнем случае говорят, что движение тела происходит в постоянном во времени однородном силовом поле. Примером такого поля может служить поле тяготения вблизи поверхности Земли при условии, что высота тела над поверхностью мала по сравнению с радиусом Земли. Разумеется, движение тела вблизи поверхности Земли описывается уравнением (2) только тогда, когда можно не учитывать сопротивление воздуха.

Итак, функция r(t) содержит полную информацию о кинематике движения тела, т.е. ответ на любой вопрос в кинематических задачах можно получить, используя только зависимость r(t). Никаких других физических законов при этом привлекать не требуется. Например, зависимость мгновенной скорости точки от времени в однородном поле может быть получена из соотношения (2) дифференцированием радиус-вектора по времени и имеет вид

v(t)

=

v

+

at

.

При решении задач мы будем записывать уравнение (2) непосредственно в проекциях на оси координат. При постоянном ускорении a всегда можно выбрать систему координат таким образом, чтобы векторное уравнение (2) сводилось к двум скалярным: так как траектория, по которой движется тело, плоская, то нужно просто совместить, например, плоскость x, y с плоскостью, в которой лежит траектория. Тогда векторное уравнение (2) эквивалентно двум скалярным уравнениям

x(t)

=

x

+

v

x

t

+

axt^2

2

,

y(t)

=

y

+

v

y

t

+

ayt^2

2

.

(3)

В частности, если рассматривать движение тела вблизи поверхности Земли под действием только силы тяжести, то удобно направить ось y вертикально вверх. Тогда вектор ускорения имеет только одну отличную от нуля проекцию: ax=0, ay=-g, и система (3) принимает вид

x(t)

=

x

+

v

x

t

=

x

+

v

cos ·t

,

y(t)

=

y

+

v

y

t

–

gt^2

2

=

y

+

v

sin ·t

–

gt^2

2

,

(4)

где - угол, образованный вектором начальной скорости с горизонтом. Иногда удобно поместить начало координат в начальную точку траектории, тогда x=y=0.

При равномерном движении материальной точки по окружности скорость изменяется только по направлению, оставаясь неизменной по модулю. Ускорение при этом направлено к центру окружности перпендикулярно скорости, т.е. по нормали к траектории, и равно по модулю

a

=

v^2

R

,

(5)

где R - радиус окружности. Эта же формула справедлива и при движении точки с постоянной по модулю скоростью v по произвольной криволинейной траектории. В этом случае R есть радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке. Ускорение при этом направлено к центру кривизны, т. е, перпендикулярно скорости, направленной по касательной к траектории. Если же скорость меняется по модулю, то у вектора ускорения кроме нормальной составляющей, даваемой той же формулой (5), будет ещё составляющая, направленная по вектору скорости или против него, в зависимости от того, увеличивается или уменьшается скорость движущейся материальной точки.

Решение кинематической задачи сводится к использованию указанных выше уравнений в конкретных условиях, сформулированных в задаче. При этом было бы наивно пытаться овладеть каким-то «общим методом» решения, пригодным для всех задач; подобного «общего метода» попросту не существует. Наоборот, на приводимых примерах читатель может убедиться, что всегда существует несколько более или менее различающихся между собой подходов к исследованию физических явлений.

Разные подходы нередко оттеняют новые стороны изучаемого явления, позволяя глубже проникнуть в его физический смысл. Поэтому в большинстве разбираемых задач приводятся различные варианты решения.