1. Переправа.

Представим себе реку с параллельными берегами, расстояние между которыми l (рис. 1.1). Скорость течения по всей ширине реки одинакова и равна u.

Рис. 1.1. Скорость течения u в любом месте реки одинакова

С какой наименьшей постоянной скоростью vmin относительно воды должна плыть лодка, чтобы из точки A попасть в точку B на противоположном берегу, находящуюся на расстоянии s ниже по течению? На какое минимальное расстояние smin снесёт лодку вниз по течению при переправе на другой берег, если модуль её скорости относительно воды равен v?

Рис. 1.2. Скорость лодки относительно берегов V равна сумме векторов u и v

Чтобы ответить на эти вопросы, нужно прежде всего отчётливо представить себе, что скорость лодки относительно берегов V есть векторная сумма скорости течения u и скорости лодки относительно воды v (рис. 1.2):

V

=

u

+

v

.

(1)

Будем считать, что лодка имеет относительно воды некоторую неизменную по модулю скорость v. Тогда, отправляясь из точки A, лодка сможет попасть в точку B только в том случае, если её скорость относительно берегов V удастся направить по прямой AB или левее этой прямой. Если ни при каком направлении v мы не сможем получить в начальный момент результирующую скорость V вдоль прямой AB, то лодку обязательно снесёт течением ниже точки B (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Выбор направления скорости лодки v для переправы из A в B

Рис. 1.4. К вычислению минимальной скорости vmin

Нужное нам направление вектора V может быть получено при разных значениях вектора v. Скорость течения u во всех случаях направлена одинаково и изображается одним и тем же вектором. Скорость лодки относительно воды v может быть направлена по-разному. Из рис. 1.3 видно, что эта скорость будет наименьшей в том случае, когда скорость лодки относительно берега V направлена именно по прямой AB, а скорость v перпендикулярна этой прямой. Этот случай показан на рис. 1.4. Из подобия изображённых прямоугольных треугольников находим

vmin

u

=

l

l^2+s^2

.

(2)

Отметим, что если мы хотим попасть в точку B, двигаясь с минимальной возможной скоростью vmin, то нам придётся направить нос лодки перпендикулярно выбранной траектории лодки AB. Лодку будет сносить течением, и в результате она будет боком приближаться к намеченной цели!

Возвращаясь к рис. 1.3, мы видим, что для получения ответа на первый вопрос задачи нам пришлось проанализировать треугольник, соответствующий закону сложения скоростей (1). В этом треугольнике одна из сторон (u) была задана по модулю и направлению. Направление другой стороны (V) мы выбрали, исходя из условия задачи - требования попасть в точку B. Тогда для получения минимального значения модуля третьей стороны (v) её нужно было направить перпендикулярно выбранному направлению V

Рис. 1.5. Выбор направления для переправы с минимальным сносом

Аналогичные рассуждения можно использовать и для ответа на второй вопрос задачи. Вектор скорости течения u и в этом случае задан по модулю и направлению. Что касается второго слагаемого в правой части выражения (1) - скорости лодки относительно воды v, то заранее известен только её модуль v, а направление может быть любым. Если начало вектора v совместить с концом вектора u (рис. 1.5), то конец вектора v может лежать в любой точке окружности радиуса v. Из рис. 1.5б сразу видно, что снос лодки течением неизбежен, если v<u Если же скорость лодки v больше скорости u, то при должном выборе направления v можно добиться того, что сноса вообще не будет (рис. 1.5а). Более того, при v>u можно, переправляясь через реку, причалить к противоположному берегу в любом месте выше по течению.

Анализ рис. 1.5б показывает, что при v<u снос будет минимальным, если скорость лодки относительно берегов V направлена по касательной к окружности радиуса v Сравнивая изображённые на этом рисунке подобные треугольники, находим минимальный снос лодки smin:

s

min

=

lu^2-v^2

v

,

v<u

.

(3)

Посмотрите ещё раз на рис. 1.5б и сообразите, куда следует направлять нос лодки при переправе, чтобы её снос течением был минимальным.

2. Как опередить автобус?

Человек находится в поле на расстоянии l от прямолинейного участка шоссе. Справа от себя он замечает движущийся по шоссе автобус. В каком направлении следует бежать к шоссе, чтобы выбежать на дорогу впереди автобуса как можно дальше от него? Скорость автобуса u, скорость человека v.

Интерес, разумеется, представляет только случай v<u, так как при v>u человек может убежать от автобуса на любое расстояние.

Рис. 2.1. Бежать к шоссе нужно не по кратчайшему пути

Чтобы выбежать на шоссе как можно раньше, человек должен избрать кратчайший путь. Если при этом он даже и успеет выбежать на шоссе впереди автобуса, то всё равно расстояние до автобуса не будет максимальным из возможных. В самом деле, если бежать не перпендикулярно шоссе, а под некоторым небольшим углом к перпендикуляру (рис. 2.1), то путь человека до шоссе увеличится на величину l, но зато он выбежит на дорогу на расстоянии d левее точки B. Если выбрать угол достаточно малым, то расстояние d можно сделать больше расстояния l в любое число раз. Поэтому, несмотря на то что скорость человека v меньше скорости автобуса u, он окажется на шоссе на большем расстоянии от автобуса, чем в точке B.