Рис. 6.1. Траектории, проходящие через цель

Попробуем разобраться в этой задаче, не выписывая пока никаких формул. Рассмотрим все траектории, проходящие через цель, забыв на время о существовании стены. На рис. 6.1 выделена траектория, соответствующая наименьшему значению начальной скорости мины. Напомним, что этой траектории соответствует угол =45°. Нетрудно убедиться, что начальные скорости, соответствующие другим траекториям, монотонно возрастают при удалении этих траекторий от выделенной как вверх, так и вниз. Поэтому если стена окажется ниже выделенной траектории, то решение тривиально: именно эта траектория и удовлетворяет поставленным условиям. Если стена окажется выше, то искомая траектория проходит через верхний край стены. Вот и всё.

Теперь остаётся только записать эти рассуждения на математическом языке, т.е. получить выражения для вычисления начальной скорости v и угла в каждом из этих случаев.

Прежде всего получим общее уравнение траектории, проходящих через цель. Как мы уже знаем, уравнение траекторий, выходящих из начала координат, имеет вид

y

=

x tg

–

gx^2

2v^2

(1+tg^2)

.

(1)

Потребуем, чтобы эти траектории проходили через цель. Для этого положим в (1) y=0 при x=a+b:

0

=

(a+b)

tg

–

g(a+b)^2

2v^2

(1+tg^2)

.

(2)

Выражая из (2) начальную скорость v и подставляя в (1), получим уравнение траекторий, проходящих через цель:

y

=

x

1

–

x

a+b

tg

.

(3)

Придавая разные значения в пределах от 0 до /2, получаем все траектории, изображённые на рис. 6.1. Выделенная траектория получается при tg =1 (=/4):

y

=

x

1

–

x

a+b

.

(4)

Выясним теперь, при каком условии эта траектория проходит над стеной. Для этого найдём высоту h точки траектории при x=a:

h

=

a

1

–

a

a+b

=

ab

a+b

.

Таким образом, если высота стены h меньше, чем h то искомая траектория определяется выражением (4), а соответствующая ей начальная скорость v легко находится из уравнения (2) при tg =1:

v

min

=

g(a+b)

Это есть обычное соотношение между начальной скоростью и максимальной дальностью полёта по горизонтали.

Определим теперь искомую траекторию, если стена выше выделенной траектории: h>h Как уже отмечалось, в этом случае нужно найти траекторию, проходящую через верхний край стены, т.е. положить в (3) y=h при x=a:

h

=

a

1

–

a

a+b

tg

,

откуда tg =h(a+b)/ab Уравнение искомой траектории получим, подставив найденное значение tg в формулу (3):

y

=

x

1

–

x

a+b

a+b

ab

h

.

Отметим, что для ответа на поставленные в задаче вопросы это уравнение нам не требуется, но оно даёт возможность проследить, через какие точки мина летит к цели. Для нахождения соответствующей этой траектории начальной скорости нужно подставить полученное значение tg в уравнение (2):

v^2

min

=

gab

2h

1

+

h

a+b

ab

^2

.

Итак, резюмируя изложенное, сформулируем ответ:

если

h

<=

ab

a+b

, то

=

4

,

v^2

=

g(a+b)

;

если

h

>=

ab

a+b

, то

=

arctg

h

a+b

ab

,

v^2

=

gab

2h

1+

h

a+b

ab

^2

.

Полезно и в этой задаче рассмотреть предельные случаи. Не будем останавливаться на относительно малоинтересных случаях, как, например, a-b (стена посредине между миномётом и целью).

Бессмысленно полагать a=0 или b=0 при h/=0, но, несомненно, представляет интерес случай, когда a и b одновременно стремятся к нулю (при h/=0). В этом предельном случае требуется просто перебросить мину через стену, Ответ в этом случае очевиден: стрелять нужно вертикально вверх (=/2), а начальная скорость v=2gh. Покажем, как получить этот результат из ответа к задаче. Здесь, конечно, нужно обращаться к случаю h>=ab/(a+b). Полагая a=b и одновременно устремляя их к нулю, получим ->/2 и