Шрифт:
h
=
s tg
–
gs^2
2v^2cos^2
.
(1)
Это уравнение содержит две неизвестные величины v и и имеет поэтому бесчисленное множество решений, что соответствует возможности попасть в цель бесконечным числом способов. Из этих решений нам нужно выбрать то, которое соответствует минимальному значению v.
Прямой путь решения этой задачи состоит в нахождении v как функции от из уравнения (1) и исследовании этой функции на экстремум, что требует, однако, применения высшей математики. Поэтому поступим иначе. Решим уравнение (1) относительно . Используя известное соотношение 1/cos^2=1+tg^2, замечаем, что из (1) получается квадратное уравнение относительно tg :
gs^2tg^2
–
2v^2s
tg
+
gs^2
+
2v^2h
=
0.
(2)
Решив его, получим
tg
=
1
gs
v^2
±
v-g(gs^2+2v^2h)
.
Казалось бы, ничего хорошего не получается - громоздкое выражение. А на самом деле мы в двух шагах от ответа на вопрос задачи. Действительно, для tg физический смысл имеют только вещественные решения, и поэтому дискриминант должен быть неотрицательным:
v^2
–
2ghv^2
–
g^2s^2
>=
0.
Легко убедиться, что минимальное значение v^2 при котором это соотношение справедливо, соответствует случаю равенства; таким образом,
v^2
min
=
g(h+
h^2+s^2
)
.
(Второй корень v^2min=g(h-h^2+s^2) не имеет физического смысла, так как квадрат скорости есть величина положительная.) Итак, полученный нами ответ имеет вид
v
min
=
g(h+
h^2+s^2
)
1/2
.
(3)
Проанализируем теперь решение несколько подробнее. Возвратимся к квадратному уравнению для tg . При положительном дискриминанте оно имеет два решения, т.е. при заданном значении v камень может попасть в цель по двум различным траекториям. При отрицательном дискриминанте решений нет, т.е. ни при каком значении угла камень не попадёт в цель при заданной скорости. При равном нулю дискриминанте имеется только одно решение (единственная траектория полёта камня до цели). Именно в этом случае, как мы выяснили, начальная скорость будет минимальной, а выражение для tg имеет особенно простой вид:
tg
=
v^2min
gs
=
h+h^2+s^2
s
.
(4)
Проверим правильность полученного результата предельными переходами.
1. Если h=0, то tg =1, т.е. камень нужно бросить под углом /4. Хорошо известно, что это соответствует максимальной дальности полёта по горизонтали при заданной начальной скорости, а при заданной дальности - минимальной начальной скорости. Этот случай уже обсуждался вначале.
2. Если s->0 то tg -> а ->/2. Действительно, камень следует бросать вертикально вверх, и только в этом случае положение цели совпадает с наивысшей точкой траектории.
Итак, мы решили поставленную задачу, потребовав, чтобы корни квадратного уравнения (2) для tg имели физический смысл, т.е. были вещественными.
Рассмотрим теперь несколько иной способ рассуждений, приводящий, естественно, к тому же результату. Прежде всего отметим одно очевидное обстоятельство: при заданном расстоянии s чем выше расположена цель, тем больше должна быть минимальная начальная скорость камня. Поэтому, вместо того чтобы искать минимум v при заданном h, можно искать максимум h при заданном v.
Предположим, что v задано. Тогда, выразив h из (2):
h
=-
gs^2
2v^2
tg^2
+
s tg
–
gs^2
2v^2
,
легко исследовать получившийся квадратный трехчлен относительно tg на максимум. (Напомним, что максимум квадратного трехчлена y=ax^2+bx+c (a<0) имеет место при x=-b/2a и равен c-b/4a.) Максимальное значение h достигается при tg =v^2/gs и равно
h
=
v^2
2g
–
gs
2v^2
.
(5)
Из (5) находим минимальное значение начальной скорости v при заданной высоте цели h, совпадающее с полученным ранее.
6. В цель за стеной.
Между целью и миномётом, находящимися на одной горизонтали, расположена стена высотой h. Расстояние от миномёта до стены равно a, а от стены до цели b. Определить минимальную начальную скорость мины, необходимую для поражения цели. Под каким углом при этом следует стрелять? Сопротивлением воздуха пренебречь.