Рис. 10.2. Успокоение колебаний мотора с несбалансированным ротором с помощью комбинированного маятника

Допустим, что нам удалось подобрать такую пружину: подставка с двигателем остаётся неподвижной, несмотря на то что ротор двигателя вращается. Попробуем выяснить, при каких условиях это возможно. Подставка неподвижна, значит, все действующие на неё силы уравновешены, Какие же силы действуют на подставку?

При вращении ротора его центр масс, не лежащий на оси, движется по окружности. Это значит, что действующая на ротор сила в каждый момент времени направлена к центру окружности, т.е. представляет собой постоянный по модулю вектор, вращающийся с частотой . Эта сила F согласно второму закону Ньютона равна произведению массы ротора M на центростремительное ускорение ^2r:

F

=

M^2r

,

(1)

где r - расстояние от оси до центра масс ротора. Вертикальная проекция действующей на ротор силы изменяется со временем по гармоническому закону:

F(t)

=

F

sin t

.

(2)

Благодаря этой силе периодически с частотой изменяется сила натяжения нитей, на которых подвешена подставка. Если амплитуда этой силы F не превосходит действующей на двигатель с подставкой силы тяжести Mg, то нити всё время остаются натянутыми. Таким образом, подставка не совершает перемещений по вертикали, если, как видно из формулы (1), выполнено условие

^2

<

M

M

=

g

r

.

(3)

Выясним теперь, при каком условии подставка с двигателем не будет совершать и горизонтальных перемещений. Горизонтальная проекция действующей на ротор силы также изменяется по гармоническому закону:

F(t)

=

F

cos t

.

(4)

Согласно третьему закону Ньютона равная по модулю и противоположная по направлению сила действует со стороны ротора на статор двигателя и подставку. Именно благодаря этой синусоидальной силе подставка и совершала бы горизонтальные колебания в отсутствие груза m. с пружиной. Очевидно, что если в каждый момент времени действующая на подставку со стороны деформированной пружины сила будет уравновешивать силу, действующую со стороны ротора, то подставка с двигателем будет неподвижна.

Таким образом, действующая на подставку со стороны пружины сила должна быть равна силе F, выражаемой формулой (4), т.е. должна синусоидально зависеть от времени с той же самой частотой . Так как упругая сила пружины пропорциональна её деформации, т.е. смещению груза m из положения равновесия (рис. 10.2), то движение груза m должно представлять собой гармоническое колебание с той же частотой . Поскольку подставка с двигателем при этом неподвижна, то ясно, что частота должна быть частотой собственных колебаний комбинированного маятника с пружиной. Такой маятник был рассмотрен в задаче 3 этого раздела. Так как теперь к грузу m прикреплена одна пружина, а не две, то выражение для частоты собственных колебаний имеет вид

^2

=

g

l

+

k

m

.

(5)

Отсюда определяется жёсткость пружины, необходимой для успокоения колебаний подставки с двигателем, якорь которого вращается с круговой частотой :

k

=

m(^2-g/l)

=

m(^2-^2)

.

(6)

Из этой формулы видно, что добиться успокоения колебаний подставки таким способом можно только тогда, когда круговая частота ротора больше частоты свободных колебаний математического маятника длиной l. Для успокоения низкочастотных колебаний, когда <=, пришлось бы подвешивать груз m на нити большей длины.

Итак, при вращении несбалансированного ротора подставка с двигателем неподвижна, а присоединённый к ней маятник совершает гармонические колебания. Легко найти амплитуду этих колебаний. Как видно из формулы (4), амплитуда колебаний x определяется из условия kx=F. Подставляя сюда F из формулы (1) и k из (6), находим

x

=

r

M

m

1

1-^2/^2

(>)

.

(7)

Амплитуду колебаний груза x всегда можно сделать достаточно малой путём увеличения массы груза m. Однако увеличение массы потребует, как видно из формулы (6), увеличения жёсткости пружины k.

Мы выяснили, что при правильном подборе жёсткости пружины действительно возможно такое движение рассмотренной системы, при котором подставка с двигателем неподвижна. Однако остаётся вопрос о том, будет ли система сама приходить в такое состояние после включения двигателя. Ответ на этот вопрос положительный. Общей чертой вынужденных колебаний, происходящих под действием периодической внешней силы, является то, что спустя некоторое время после начала действия внешней силы система полностью «забывает» своё начальное состояние. В любой реальной системе, где собственные колебания затухают, вынужденные колебания приобретают стационарный характер и не зависят от начальных условий. Начальные условия проявляются только в период установления колебаний, который обычно называют переходным процессом.

Отметим, что при наличии затухания успокоение колебаний подставки с двигателем, строго говоря, не будет абсолютным. Чтобы колебания вспомогательного маятника при наличии в нем трения происходили с неизменной амплитудой, к нему должна подводиться энергия. А это возможно только тогда, когда подставка с двигателем всё-таки совершает колебания с небольшой амплитудой.

Рассмотренный в этой задаче способ успокоения вынужденных колебаний широко применяется в технике и называется динамическим демпфированием.