9. Вынужденные колебания.

Точка подвеса математического маятника длиной l движется под действием внешней силы в горизонтальном направлении по закону x(t)=xsin t. Найти установившиеся вынужденные колебания маятника.

Задача состоит в нахождении установившихся вынужденных колебаний маятника. При нахождении вынужденных колебаний будем пренебрегать трением, однако необходимо отчётливо представлять себе, что установление колебаний принципиально возможно лишь при наличии затухания. С одной стороны, мы собираемся решать задачу без учёта сил трения, а с другой стороны, как только что отмечено, силы трения необходимы.

Будет ли полученное решение иметь смысл? Да, будет, но только оно будет описывать движение маятника с малым затуханием спустя достаточно большой промежуток времени после того, как точка подвеса приведена в движение. Слова «достаточно большой промежуток времени» означают здесь, что, несмотря на малое затухание, переходный процесс уже закончился.

Из условия задачи нам известны амплитуда x и круговая частота колебаний точки подвеса. Очевидно, что вынужденные колебания будут происходить с той же самой частотой , в то время как частота свободных колебаний этого маятника =g/l Основная идея решения заключается в том, чтобы представить вынужденные колебания данного маятника как свободные колебания некоторого другого маятника. Очевидно, что длина этого маятника L должна определяться из условия =g/l. Здесь могут встретиться разные случаи: частота со может быть меньше, больше или равна собственной частоте свободных колебаний данного математического маятника.

Рис. 9.1. При свободных колебаниях маятника длиной L точка B совершает гармоническое колебание с частотой =g/l

Рассмотрим сначала случай <, т.е. частота колебаний точки подвеса меньше частоты свободных колебаний. В этом случае длина L воображаемого маятника больше чем l (рис. 9.1).Поскольку рассматриваются малые колебания, можно считать, что нижний конец A маятника движется по прямой - ось X на рисунке. Если движение точки A происходит по закону X(t)=Xsin t, то, как сразу видно из рисунка, точка B, находящаяся на расстоянии l от нижнего конца, совершает движение вдоль оси x по закону x(t)=xsin t, совпадающему с заданным движением точки подвеса. Теперь нетрудно представить себе, что если в качестве точки B взять точку подвеса маятника l, то движение его нижнего конца будет таким же, как и у воображаемого маятника L. Другими словами, если «отрезать» у маятника длиной L верхнюю часть, но обеспечить при этом внешними силами движение точки B по такому же закону, как и при свободных колебаниях маятника длиной L, то мы получим интересующий нас маятник длины l, точка подвеса которого совершает заданное движение. Очевидно, что движение нижней части маятника при этом не изменится.

Таким образом, вынужденное колебание происходит в той же фазе, что и движение точки подвеса, а амплитуду этого колебания X можно определить из очевидных геометрических соображений:

X

=

x

L

L-l

=

x

^2

^2-^2

.

Здесь мы подставили выражения для длин маятников через их частоты. Обратим внимание на то, что при стремлении частоты колебаний точки подвеса к частоте свободных колебаний маятника амплитуда его вынужденных колебаний неограниченно возрастает, т.е. наступает резонанс. Вблизи резонанса полученное нами решение неприменимо, так как, во-первых, мы исходили из предположения малости колебаний и, во-вторых, вблизи резонанса нельзя пренебрегать затуханием, ибо только при учёте затухания амплитуда в резонансе получается конечной.

Рис. 9.2. При > нижний конец маятника и точка подвеса движутся в противофазе

В случае > длина воображаемого маятника L<l (рис. 9.2). Рассуждая аналогично предыдущему случаю, легко прийти к выводу, что движение нижнего конца маятника l (точка A на рис. 9.2) происходит в противофазе с движением точки подвеса B. Амплитуда вынужденных колебаний легко определяется из геометрических соображений.

Приведём окончательный результат: вынужденные колебания маятника описываются уравнением

X(t)

=

X

sin(t+)

,

где

=

0

при

<,

–

при

>,

X

=

x^2

^2-^2

при

<,

x^2

^2-^2

при

>.

Рис. 9.3. Амплитуда вынужденных колебаний при резонансе тем меньше, чем больше затухание

На рис. 9.3 приведена зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты движения точки подвеса. Кривая 1 соответствует идеализированному случаю, когда затухание отсутствует. При -> эта кривая показывает стремление амплитуды вынужденных колебаний к бесконечности в условиях резонанса. Если бы затухание учитывалось, то вместо кривой 1 получилась бы кривая 2. При этом максимум амплитуды вынужденных колебаний оказывается конечным и приходится на частоту, несколько меньшую частоты свободных колебаний. Сдвиг частоты тем больше, чем больше затухание. С ростом затухания уменьшается амплитуда вынужденных колебаний. При -> амплитуда колебаний стремится к нулю даже тогда, когда нет затухания. При =0, что соответствует статическому смещению точки подвеса на расстояние x, нижний конец маятника смещается из прежнего положения на такую же величину x.

10. Успокоение колебаний.

Рис. 10.1. Подставка с электродвигателем подвешена на нитях

Электродвигатель установлен на подставке, которая подвешена на нерастяжимых нитях длины l (рис. 10.1). Ротор его вращается с частотой . Центр масс ротора двигателя не находится на его оси, поэтому подставка раскачивается в горизонтальном направлении. Для устранения этих нежелательных колебаний подставки можно поступить следующим образом. Подвесим рядом с подставкой груз массы m и соединим его с подставкой упругой пружиной (рис. 10.2). Тогда при определённой жёсткости пружины k подставка с двигателем будет неподвижна, а груз будет совершать колебания. Почему так происходит и какой должна быть жёсткость пружины k?