Шрифт:
11. Несинусоидальные колебания.
В плоский конденсатор с размерами обкладок lxl и расстоянием между ними d (l>>d, l>>d) полностью вставлена диэлектрическая пластина массы m с проницаемостью , как раз заполняющая весь объём между обкладками. На конденсаторе поддерживается постоянное напряжение U. Диэлектрическая пластина выдвигается вдоль стороны длиной l на расстояние x и отпускается. Пренебрегая трением, найти зависимость смещения пластины от времени x(t).
Рис. 11.1. К нахождению силы Fэл, втягивающей диэлектрическую пластину при неизменном напряжении U между обкладками конденсатора
Чтобы выяснить, по какому закону будет происходить движение пластины, прежде всего необходимо найти выражение для силы, действующей на неё со стороны электрического поля плоского конденсатора, соединённого с источником постоянного напряжения U Пусть пластина диэлектрика выдвинута на расстояние x за пределы конденсатора (рис. 11.1) и находится в равновесии под действием силы Fэл, действующей со стороны электрического поля, и равной ей по модулю внешней силы F. Допустим, что диэлектрик вдвинулся в пространство между обкладками на величину x. Из закона сохранения энергии следует, что совершенная при этом источником напряжения работа Aист равна сумме изменения энергии конденсатора Wк и механической работы, совершенной силой Fэл над внешними телами:
A
ист
=
W
к
+
F
эл
x
.
(1)
Если заряд конденсатора изменился при этом на величину q, то изменение энергии конденсатора
W
к
=
Uq
2
.
(2)
Источник напряжения при этом совершил работу
A
ист
=
U
q
.
(3)
Подставляя Wк и Aист из (2) и (3) в уравнение (1), получаем
F
эл
x
=
Uq
2
.
(4)
Это соотношение позволяет найти силу Fэл, действующую на диэлектрическую пластину со стороны электрического поля конденсатора. Изменение заряда конденсатора q при вдвигании пластины можно записать в виде q=UC. Изменение ёмкости конденсатора C при вдвигании пластины на x можно найти, если рассматривать конденсатор с частично вдвинутой пластиной как два соединённых параллельно конденсатора, один из которых заполнен диэлектриком, а другой - нет. Тогда простой расчёт приводит к результату
C
=
(-1)lx
d
.
(5)
Подставляя изменение заряда q в уравнение (4), находим, что
F
эл
=
(-1)l
d
U^2
2
.
(6)
Таким образом, если между обкладками конденсатора поддерживается постоянное напряжение, то действующая на диэлектрик сила не зависит от длины выступающей из конденсатора части. Эта сила втягивает диэлектрик в пространство между обкладками.
Рис. 11.2. Графики смещения и скорости при колебаниях диэлектрической пластины в конденсаторе
Теперь легко сообразить, что выдвинутая пластина будет под действием постоянной силы Fэл двигаться равноускоренно с ускорением a=Fэл/m, пока не достигнет положения равновесия. После того как пластина проскочит по инерции положение равновесия и выдвинется из конденсатора с другой стороны, направление ускорения изменится на противоположное, так как изменится направление втягивающей силы. В результате пластина будет совершать колебания, которые, однако, не будут гармоническими. График смещения в зависимости от времени x(t) состоит из отрезков парабол (рис. 11.2). Так, например, в течение первой четверти периода таких колебаний, т.е. при 0<t<T/4,
x(t)
=
x
–
at^2
2
.
(7)
где
a
=
Fэл
m
=
(-1)lU^2
2md
.
(8)
Амплитуда таких колебаний, как видно из рис. 11.2, совпадает с начальным смещением пластины x из положения равновесия. По истечении первой четверти периода колебаний x(t) в левой части соотношения (7) обращается в нуль. Поэтому для полного периода колебаний T получаем
T
=
4
2x/a
.
(9)
Видно, что период этих несинусоидальных колебаний зависит от амплитуды x.
Если график зависимости смещения пластины конденсатора от времени ещё хоть как-то напоминает косинусоиду, то график скорости уже совершенно не похож на то, что должно быть при гармонических колебаниях. Поскольку ускорение пластины постоянно по модулю и только скачком меняет направление на противоположное в моменты прохождения пластиной положения равновесия, то график скорости v(t) представляет собой «пилу», показанную на рис. 11.2.