Шрифт:
a
ц
=
(v/2)^2
l/2
=
v^2
2l
.
(1)
Шарик оторвётся от поверхности, если aц>g. В противоположном случае (aц<g) шарик не отрывается. Для этого его скорость должна удовлетворять условию
v^2
<
2gl
.
(2)
Для нахождения скорости верхнего шарика в момент удара можно воспользоваться законом сохранения энергии. В этот момент во введённой системе отсчёта его скорость v направлена вертикально вниз, а скорость скользившего по поверхности шарика обращается в нуль (рис. 15.3). Действительно, в этой системе отсчёта центр масс падает по вертикали. В момент падения гантели на поверхность стержень, соединяющий шарики, расположен горизонтально, поэтому горизонтальные составляющие скоростей всех его точек, в том числе середины и концов, в момент падения равны нулю.
Рис. 15.3. Скорости шариков в момент падения гантели на горизонтальную плоскость в той же системе отсчёта
Таким образом, закон сохранения энергии во введённой системе отсчёта можно записать в виде
mv^2
2
=
mgl
+
2
m(v/2)^2
2
,
(3)
откуда
v^2
=
2gl
+
v^2
2
.
(4)
В лабораторной системе отсчёта скорость v падающего шарика в момент удара определяется выражением
v^2
=
v^2
+
v^2
4
=
2gl
+
3v^2
4
.
(5)
Рис. 15.4. Скорости шариков в лабораторной системе отсчёта
Направление этой скорости, как видно из рис. 15.4, составляет угол с вертикалью, тангенс которого равен отношению v/2 к v
tg
=
v/2
v
=
v/2
2gl+v^2/2
=
1
2 1/2 +2gl/v^2
.
(6)
Подчеркнём, что удачный выбор системы отсчёта при решении этой задачи позволил обойтись, по существу, всего одной простой формулой (3), выражающей закон сохранения энергии.
16. Парадокс кинетической энергии.
Игрушечный автомобиль с полностью заведённой пружиной может разогнаться до скорости v. Пренебрегая потерями энергии на трение, можно считать, что потенциальная энергия заведённой пружины W целиком превратилась в кинетическую энергию игрушки. Рассмотрим этот же процесс в другой инерциальной системе отсчёта, которая движется со скоростью v относительно Земли навстречу игрушечному автомобилю. В этой системе отсчёта окончательная скорость игрушки равна 2v, т.е. вдвое больше, а её кинетическая энергия в четыре раза больше, т.е. равна 4W. Так как в этой системе отсчёта автомобиль с самого начала имел кинетическую энергию W, то в результате раскручивания пружины его кинетическая энергия возросла на 3W, а не на W, как в исходной системе отсчёта. Между тем потенциальная энергия заведённой пружины в обоих случаях равна W! Объясните этот парадокс.
Парадокс возникает потому, что в приведённых рассуждениях не учитывалась кинетическая энергия Земли и её изменение при взаимодействии колёс игрушки с дорогой. Если же это изменение учесть аккуратно, то никакого парадокса вообще не возникает и закон сохранения энергии, разумеется, оказывается выполненным.
Рассмотрим сначала систему отсчёта, в которой Земля неподвижна. В этой системе отсчёта до разгона автомобиля полный импульс равен нулю. При разгоне автомобиля он приобретает скорость v, а Земля приобретает скорость V, направленную противоположно (V<0). Полный импульс системы остаётся неизменным, поэтому
mv
+
MV
=
0,
(1)
где m - масса игрушки, M - масса Земли.
Рис. 16.1. Разгоняясь, заводная игрушка сообщает Земле не только поступательное движение со скоростью V но и вращение с угловой скоростью
Так как действующая на Землю со стороны колёс игрушки сила не проходит через центр Земли, то кроме поступательного движения со скоростью V Земля приходит также и во вращение с некоторой угловой скоростью (рис. 16.1). Забудем пока об этом вращении Земли и будем считать, что Земля движется только поступательно.
При раскручивании пружины её потенциальная энергия W превращается в кинетическую энергию игрушки и Земли:
W
=
mv^2
2
+
MV^2
2
.
(2)
Выражая V из уравнения (1) и подставляя в (2), находим
W
=
mv^2
2
1
+
m
M
.
(3)
Так как масса игрушки m неизмеримо меньше массы Земли (m/M<<1), то, как видно из формулы (3), практически вся энергия пружины превращается в кинетическую энергию игрушки.
Теперь рассмотрим тот же процесс с точки зрения второй системы отсчёта, в которой скорость игрушки и Земли сначала равна v. Полный импульс в этой системе отсчёта равен (m+M)v После разгона скорость игрушки равна 2v, а скорость Земли обозначим через V. На основании закона сохранения импульса
m(2v)
+
MV
=
(m+M)v
.
(4)
Кинетическая энергия игрушки после разгона равна m(2v)^2/2, а кинетическая энергия Земли есть MV^2/2. Изменение полной кинетической энергии