Шрифт:
+
mc^2
=
mc^2
1-v^2/c^2
(1+v/c)
.
(4)
Простыми преобразованиями выражение (4) можно привести к виду
c+v
c-v
=
1
+
2W
mc^2
^2
.
(5)
Отсюда получим выражение для конечной скорости зеркала v:
v
=
c
1 +
2W
mc^2
– 1
1 +
2W
mc^2
+ 1
.
(6)
Теперь найдём энергию отражённой волны W. Для этого вычтем из выражения (1) равенство (3), умноженное на c:
mc^2
=
2W
+
mc^2
c-v
c+v
1/2
,
(7)
откуда с помощью (5) легко находим энергию отражённой волны W:
W
=
W
1+2W/mc^2
.
(8)
Интересно отметить, что энергия отражённой волны не может превышать половины энергии покоя зеркала, какой бы большой ни была энергия падающей волны. Действительно, пренебрегая единицей в знаменателе (8), мы только увеличим правую часть, поэтому
W
<
W
2W/mc^2
=
mc^2
2
.
Таким образом, чем больше энергия падающей волны, тем большая часть этой энергии передаётся зеркалу. При W>>mc^2 практически вся энергия волны передаётся зеркалу. Отражается только малая часть энергии, равная, как мы только что видели, mc^2/2. Подчеркнём ещё раз, что этот результат мы получили, совершенно не вникая в механизм взаимодействия электромагнитной волны с веществом, из которого сделано зеркало!
Интересно отметить другой предельный случай, когда энергия падающей волны много меньше энергии покоя зеркала: W< v c 2W mc^2 . (9) Так как при x<<1 справедлива приближённая формула (1+x)– 11-x то выражение (8) при W< W W = W-W W 2W mc^2 . (10) Из этих соотношений видно, что в этом случае волна почти целиком отражается от зеркала, передавая ему лишь ничтожную часть своей энергии. Поэтому «фотонный парус» может быть эффективным только тогда, когда энергия падающей на него волны сравнима с его энергией покоя. 6. Фотоэффект и рентгеновское излучение. На шарик электрометра падает рентгеновское излучение. Угол отклонения стрелки перестаёт изменяться, когда разность потенциалов между шариком электрометра и землёй достигает значения U=8 кВ. Какова длина волны падающего рентгеновского излучения? Какое напряжение V подано на электроды рентгеновской трубки? Прежде всего выясним, откуда берётся заряд на шарике электрометра. Если электрометр предварительно не был заряжен, то единственная причина появления зарядов - фотоэффект, вызываемый рентгеновским излучением. При выбивании электронов шарик прибора заряжается положительно. Однако с ростом заряда на шарике увеличивающееся электрическое поле не даёт выбитым электронам возможности улететь, если их кинетическая энергия недостаточно велика. С учётом тормозящего действия возникающего электрического поля уравнение Эйнштейна, т.е. закон сохранения энергии для элементарного акта фотоэффекта, запишется в виде h = A + mv^2 2 + eU . (1) В этом выражении A - работа выхода электрона из материала шарика электрометра, v - скорость вылетевшего электрона на большом расстоянии от шарика, U - разность потенциалов между шариком электрометра и землёй, e - абсолютная величина заряда электрона. Очевидно, что увеличение заряда шарика будет продолжаться до тех пор, пока его потенциал не достигнет такого значения, при котором все выбитые электроны будут возвращаться на электрометр. Другими словами, U в правой части уравнения (1) достигает максимального значения, когда скорость выбитого электрона v на бесконечности обращается в нуль. Таким образом, при заданной частоте рентгеновского излучения установившееся значение напряжения U на электрометре определяется соотношением h = A + eU . (2) Из уравнения (2) мы могли бы определить частоту падающего рентгеновского излучения но известному напряжению U, если бы мы знали работу выхода A. Однако в условии задачи не указано, из какого материала сделан шарик электрометра, но совершенно ясно, что он металлический. Характерное значение работы выхода электронов из металлов составляет несколько электрон-вольт (например, для серебра 4,7 эВ). Между тем заданное значение напряжения на электрометре равно 8 кВ, т.е. второй член в правой части уравнения (2) примерно на три порядка больше первого. Поэтому можно пренебречь величиной A по сравнению с eU. В результате получаем