Рис. 1.2. В системе отсчёта, где точка подвеса неподвижна, шарик в начальный момент имеет скорость -v

В системе отсчёта, связанной с точкой подвеса, дальнейшее движение шарика будет происходить по-разному в зависимости от его начальной скорости. При небольшой начальной скорости система будет вести себя как математический маятник, совершающий малые почти гармонические колебания вблизи вертикального положения равновесия:

(t)

=

sin t

.

(1)

Частота равна частоте собственных колебаний математического маятника длины l: ^2=g/l. Выбор начальной фазы колебаний в уравнении (1) соответствует тому, что при t=0 маятник расположен вертикально и =0. Амплитуда колебаний также находится из начальных условий. Так как согласно формуле (1) угловая скорость маятника равна

(t)

=

cos t

,

(2)

то линейная скорость шарика при t=0 равна l. Приравнивая её начальной скорости v, находим угловую амплитуду :

=

v

l

.

(3)

Такое гармоническое колебательное движение маятника происходит только при небольшой амплитуде <<1, т.е., как видно из формулы (3), при

v

<<

l

=

gl

.

Если начальная скорость v не очень мала, т.е. не удовлетворяет приведённому неравенству, то колебания маятника будут происходить с большой амплитудой и уже не будут гармоническими. Но амплитуда колебаний, разумеется, не может превышать значения =/2. При такой амплитуде шарик в крайних положениях поднимается до уровня точки подвеса. Этому соответствует, как легко убедиться с помощью закона сохранения энергии, значение начальной скорости v=2gl. Если же начальная скорость больше этого значения, то шарик поднимется выше точки подвеса, однако он будет двигаться по окружности только до тех пор, пока сила натяжения нити не обратится в нуль. Начиная с этой точки, гибкая нить не влияет на движение шарика, и он движется свободно в поле тяжести по параболе, пока нить снова не вытянется на всю длину.

Рис.1.3. К нахождению точки, в которой натяжение нити T обращается в нуль

Угловое положение точки в которой сила натяжения нити обращается в нуль, легко найти с помощью закона сохранения энергии и проекции уравнения второго закона Ньютона на направление нити, полагая в нем силу натяжения нити T равной нулю. Из рис. 1.3 видно, что эти уравнения записываются следующим образом:

mv^2

2

=

mgl

(1-cos )

+

mv^2

2

,

(4)

mg

cos(-)

=

mv^2

l

.

(5)

Подставляя v^2 из уравнения (5) в (4), находим

cos

=

1

3

2

–

v^2

gl

.

(6)

Поскольку шарик поднимается выше точки подвеса только при v^2>2gl, то даваемое формулой (6) значение cos отрицательно. Из формулы (6) видно, что чем больше начальная скорость шарика v, тем ближе угол к . Наконец, если v^2=5gl, то cos =-1 и сила натяжения нити обращается в нуль, когда шарик при движении по окружности оказывается точно над точкой подвеса. Ясно, что при таком и тем более при больших значениях начальной скорости шарик будет совершать полные обороты по окружности, всё время натягивая нить.

Движение шарика в исходной лабораторной системе отсчёта, где его точка подвеса приведена в равномерное движение со скоростью v, получается в результате сложения описанного выше движения во вспомогательной системе отсчёта и равномерного движения со скоростью v.

Разобранный пример наглядно показывает следующее: несмотря на то, что законы движения во всех инерциальных системах отсчёта одинаковы, при решении конкретной задачи одна из этих систем может оказаться гораздо удобнее, чем остальные. Удачное применение принципа относительности может превратить сложную на первый взгляд задачу в почти очевидную.

2. Возбуждение атома при столкновении.

Наименьшая энергия возбуждения атома гелия равна 21,12 эВ. Возможно ли возбуждение неподвижного атома гелия при столкновении с протоном, обладающим энергией 24 эВ? с электроном такой же энергии?

Если энергия налетающей частицы недостаточна для возбуждения атома, то её столкновение с атомом является абсолютно упругим, так как внутреннее состояние атома измениться не может. При возбуждении или ионизации атома в результате удара налетающей частицы столкновение уже не является упругим, так как часть кинетической энергии превращается во внутреннюю энергию возбуждённого атома или затрачивается на совершение работы ионизации, т.е. на удаление электрона из атома. Вследствие закона сохранения импульса вся кинетическая энергия налетающей частицы не может пойти на возбуждение или ионизацию атома, хотя такой процесс и не противоречил бы закону сохранения энергии.

Какая же максимальная доля первоначальной кинетической энергии может быть использована для возбуждения атома? На этот вопрос легко ответить, если использовать законы сохранения энергии и импульса для процесса столкновения налетающей частицы с невозбуждённым атомом. Энергия возбуждения W представляет собой изменение внутренней энергии атома при переходе из основного состояния в возбуждённое. Энергия налетающей частицы - это её кинетическая энергия mv^2/2, где v - скорость частицы до столкновения.