v

=

mgR

B^2l^2

.

(5)

Скорость установившегося падения v можно найти и из энергетических соображений, не прибегая к уравнениям движения. При падении рамки с постоянной скоростью её кинетическая энергия остаётся неизменной, потенциальная энергия уменьшается, и поэтому выделяющаяся в рамке джоулева теплота равна убыли её потенциальной энергии в поле тяжести:

I^2R

=

mgv

.

(6)

Подставляя сюда значение индукционного тока I из формулы (3), приходим к прежнему значению v, выраженному формулой (5).

Сколько времени происходит процесс установления? Успеет ли рамка приобрести значение скорости v, пока её верхняя сторона всё ещё находится в магнитном поле? Чтобы ответить на эти вопросы, нужно решить уравнение (4). С решением уравнения такого вида мы уже встречались в задаче 13, где речь шла о процессе зарядки конденсатора. Прежде всего, учитывая соотношение (5), перепишем уравнение (4) в более удобном виде:

dv

dt

=-

v-v

,

(7)

где использовано обозначение

=

mgR

B^2l^2

.

(8)

Так как производные по времени от v и (v-v) совпадают, то уравнение (7) говорит о том, что скорость изменения величины v-v пропорциональна самой этой величине. Поэтому решение уравнения (7) имеет вид

v-v

=

C exp(-t/)

.

(9)

Из формулы (9) видно, что значение постоянной C равно отличию начальной скорости v=v при t=0 от скорости установившегося движения рамки v: C=v-v Видно также, что отличие мгновенной скорости от установившейся v-v затухает со временем экспоненциально с характерным временем , определяемым соотношением (8).

Таким образом, зависимость скорости от времени с того момента, как на рамку начинает действовать сила Ампера, согласно выражению (9) имеет вид

v(t)

=

(v-v)

exp (-t/)

+

v

.

(10)

Это выражение для скорости справедливо, разумеется, только до того момента, пока верхняя сторона рамки не выйдет за пределы магнитного поля (рис. 20.2).

Рис. 20.3. Скорость рамки стремится к определённому значению v независимо от величины начальной скорости v

Графики скорости рамки показаны на рис. 20.3. Верхний график соответствует случаю, когда к моменту появления силы Ампера (t=0) скорость рамки v меньше предельного значения v. Нижний график - случаю, когда v>v. Наклонные прямолинейные участки графиков при t<0 соответствуют свободному падению рамки до появления силы Ампера. Расстояние, которое проходит рамка за характерное время установления , равно площади, за штрихованной на этих графиках. Для оценки можно считать, что по порядку величины эта площадь равна v. Если длина вертикальной стороны рамки l много меньше этого расстояния v, то ни о каком установлении скорости рамки говорить не приходится. Для установления скорости необходимо выполнение неравенства

l

v

=

g

mR

B^2l^2

^2

.

(11)

Только при выполнении этого условия магнитное поле заметно сказывается на движении рамки. Интересно отметить, что к этому условию можно прийти из других, более наглядных соображений. В самом деле, магнитное поле может существенно повлиять на движение рамки только в том случае, когда при свободном падении за время установления рамка прошла бы расстояние, меньшее её вертикального размера l: lg^2 Подставляя сюда значение из формулы (8), приходим опять к условию (11).

При решении задачи мы считали, что область, в которой существует магнитное поле, имеет резкую границу (рис. 20.1, 20.2). Именно следствием этого предположения является существование изломов на графиках скорости при t=0 (рис. 20.3). Так как у любого реального магнита спадание магнитного поля происходит постепенно, то в действительности движению рамки соответствуют графики со сглаженными изломами.

При решении задачи мы не учитывали и самоиндукцию падающей рамки, благодаря которой индукционный ток, строго говоря, не равен значению, даваемому формулой (3). Этим эффектом действительно можно пренебречь, когда внешнее магнитное поле B много больше магнитного поля, создаваемого самим индукционным током.

21. Переходные процессы в электродвигателе.

Как происходит установление постоянной скорости вращения якоря электродвигателя после включения его в сеть с постоянным напряжением?

Рис. 21.1. Линейная модель электродвигателя постоянного тока с независимым возбуждением

Электродвигатель постоянного тока - это довольно сложное устройство, хотя принцип его действия очень прост. Он основан на том, что на находящийся во внешнем магнитном поле проводник с током действует сила Ампера. Поэтому понять происходящие в электродвигателе процессы можно, рассматривая его простейшую модель, которая выглядит следующим образом (рис. 21.1). По гладким горизонтальным параллельным контактным шинам может без трения перемещаться металлический стержень, электрическое сопротивление которого равно R. Вся система помещена в однородное магнитное поле, индукция B которого направлена перпендикулярно плоскости, образованной шинами. К концам шин приложено постоянное напряжение U. При прохождении тока на стержень действует сила Ампера F, которая может вызвать его перемещение но шинам. В таком устройстве подвижный стержень является аналогом якоря электродвигателя, так как при его перемещении может быть совершена работа над внешними телами.