Существование потенциальной функции в поле вблизи электрического тока не является самоочевидным следствием принципа сохранения энергии, ибо для всех реальных токов имеет место непрерывное расходование электрической энергии батареи, идущей на преодоление сопротивления провода. И пока величина этого расхода точно неизвестна, допустимо подозревать, что часть энергии батареи может идти на работу, совершаемую над магнитом при его движении по окружности. И действительно, если магнитный полюс m двигается по замкнутой кривой, охватывающей провод, то над ним в самом деле совершается работа, равная по величине 4mi. И только для замкнутых путей, не охватывающих провод, криволинейный интеграл от силы обращается в нуль. Поэтому пока мы должны считать, что как закон для силы, так и само существование потенциала опираются на описанные выше экспериментальные факты.

481. Рассматривая пространство, окружающее бесконечную прямую линию, мы видим, что это пространство является циклическим, поскольку оно возвращается само в себя. Но если мы представим плоскость или какую-то иную поверхность, начинающуюся на прямой линии и простирающуюся по одну сторону от неё до бесконечности, то эту поверхность можно будет рассматривать как диафрагму, сводящую циклическое пространство к ациклическому. Пусть из некоторой фиксированной точки в другую произвольную точку проведены линии, не пересекающие диафрагму, а потенциал определён как криволинейный интеграл от силы, взятый вдоль одной из этих линий, тогда потенциал любой точки будет иметь единственное и определённое значение.

Теперь магнитное поле во всех отношениях совпадаете полем, создаваемым магнитной оболочкой, совмещённой с этой поверхностью и имеющей мощность i; эта оболочка с одной своей стороны ограничена бесконечной прямой линией, тогда как другие части её границы бесконечно удалены от рассматриваемых областей поля.

482. Во всех реальных экспериментах ток образует замкнутую цепь (контур) конечных размеров. Поэтому мы должны сравнивать магнитное действие конечного контура с действием магнитной оболочки, для которой контур служит ограничивающим краем.

Многочисленными экспериментами, из которых наиболее ранние выполнены Ампером, а наиболее точные - Вебером, показали, что магнитное действие маленького плоского контура на расстояниях, больших по сравнению с его размерами, совпадает с действием магнита, ось которого нормальна к плоскости контура, а магнитный момент равен площади контура, помноженной на силу тока.

Если предположить, что на контур натянута некоторая поверхность, которая ограничена этим же контуром и тем самым образует диафрагму, и если заменить электрический ток магнитной оболочкой, совпадающей с данной поверхностью и имеющей мощность i, то магнитное действие оболочки во всех удалённых точках окажется одинаковым с магнитным действием тока.

483. До сих пор мы считали размеры контура малыми по сравнению с расстоянием между любым участком контура и областью, где исследуется поле. Теперь мы будем предполагать, что контур имеет произвольную форму и произвольные размеры; изучим его действие в произвольной точке P, но не расположенной, однако, внутри самого проводящего провода. Для этой цели Ампер ввёл следующий метод, имеющий важные геометрические применения.

Представим себе какую-нибудь поверхность S, ограниченную контуром и не проходящую через точку P. Проведём на этой поверхности два семейства линий, которые, пересекаясь друг с другом, делят поверхность на элементарные части, имеющие размеры, малые по сравнению с их расстоянием от P и с радиусом кривизны поверхности.

Представим себе, что вокруг каждого из этих элементов течёт ток силы i, имеющий одинаковое, такое же, как и в исходном контуре, направление циркуляции во всех элементах.

Вдоль каждой из линий, разделяющих два смежных элемента, текут два равных тока силы i в противоположных направлениях.

Эффект двух одинаковых, но противоположных токов, текущих в одном и том же месте, тождественно равен нулю, с какой бы точки зрения мы ни рассматривали эти токи. Единственными участками элементарных контуров, которые не нейтрализуются таким путём, являются участки, совпадающие с первоначальным контуром. Поэтому общий эффект элементарных контуров эквивалентен эффекту первоначального контура.

484. Теперь, поскольку каждый элементарный контур может рассматриваться как маленький плоский контур, расстояние которого от P велико по сравнению с его размерами, мы можем заменить его элементарной магнитной оболочкой мощности i, ограничивающий край которой совпадает с этим элементарным контуром. Магнитный эффект, производимый элементарной оболочкой в точке P, эквивалентен эффекту элементарного контура. В целом все элементарные оболочки образуют магнитную оболочку мощности i, совпадающую с поверхностью S и ограниченную первоначальным контуром; магнитное действие всей оболочки в точке P эквивалентно действию контура.

Ясно, что действие этого контура не зависит от формы поверхности S, которая была выбрана совершенно произвольным образом, лишь бы она затягивала контур. Отсюда видно, что действие магнитной оболочки зависит только от формы её границы, но не от формы самой оболочки. Этот результат мы получили раньше, в п. 410, однако весьма поучительно видеть, как он может быть выведен из электромагнитных соображений.

Поэтому магнитная сила, создаваемая контуром в произвольной точке, по величине и направлению одинакова с магнитной силой, создаваемой магнитной оболочкой, ограниченной этим контуром и не проходящей через данную точку, причём мощность оболочки численно равна силе тока. Направление тока в контуре так соотносится с направлением намагниченности оболочки, что если наблюдатель встал бы ногами на ту сторону оболочки, которую мы называем положительной и которая стремится указывать на север, то ток перед ним протекал бы справа налево.