Шрифт:
Структура четырёх амплитуд, соответствующих диаграммам, таким как показанные на рис. 16.5(a), является такой же, как и при распадах частиц. Если мы описываем поляризацию гравитона тензором e, то полная амплитуда пропорциональна амплитуде рассеяния в отсутствии гравитона, некоторым энергетическим множителям и величине
a
i
(-)
i
p·e·iv
1-iv cos
.
(16.4.1)
Знаменатель представляет собой произведение ip·k=E-p·k когда значения энергии E и вынесены в качестве множителей. Так как p=Ev верхние индексы i относятся к каждой из четырёх частичных ветвей в столкновении. Числитель содержит свёрнутое произведение тензора поляризации e с двумя импульсами (до и после) частицы, с которой он связан, это единственный физический тензор тензор второго порядка, который может быть построен для скалярной частицы.
Ответы, которые мы получили, являются весьма близкими к тем, что имеют место при испускании фотона; существенное различие состоит в том, что взаимодействие в электромагнетизме осуществляется вектором, в то время как в гравитации тензором. Для быстро движущейся частицы vc, так что знаменатель в соотношении (16.4.1) может быть очень мал и амплитуда может становиться очень большой вблизи 0. С другой стороны, тензор поляризации всегда поперечен к импульсу гравитона. В электромагнетизме вектор поляризации также поперечен импульсу фотона; существует только одно скалярное произведение в числителе, так что когда величина мала и vc,
a
e.m
– >
p·e
1-v cos
sin
1-cos
2
.
(16.4.2)
Рис. 16.6.
Излучение фотона может быть очень большим для малых углов. На самом деле взрыва не происходит, поскольку величина v. никогда не бывает в точности равной c. Диаграмма направленности, соответствующая одиночной частице, имеет две полости, как показано на рис. 16.6. В гравитации взаимодействие осуществляется тензорным полем и таким образом является вдвойне трансверсальным; в пределе ->0 и v=1,
a
g
– >
p·e·p
1-v cos
sin^2
1-v cos
2,
(16.4.3)
так что диаграмма направленности не направлена строго вперёд, но в целом более однородна по сравнению с электромагнетизмом (рис. 16.6 (б)). Это различие может быть замечено интуитивно, будучи следствием того факта, что при формировании излучения спин два требует больше ”трансверсальности”, чем спин, равный единице.
Имеется одна амплитуда с угловой структурой такой же, как и на рис. 16.6(б), в окрестности каждого из четырёх направлений частиц в задаче рассеяния. Интенсивность испускания гравитона является квадратом суммы четырёх амплитуд, так что в общем случае это выражение выглядит достаточно симметричным образом.
Для медленно движущихся частиц v< i (-) i i p ·e· i v = e S , , = x,y,z , S = i (-) i p v . (16.4.4) Характер излучения полностью определяется тензором S, который представляет давление, производимое при столкновении. Мы узнаем, что форма этого выражения в точности аналогична форме давления в движущейся жидкости Давление = v v , ( = плотность массы). (16.4.5) Если мы имеем столкновение между двумя частицами, давление S имеет простое выражение на языке средних скоростей (до и после) сталкивающихся частиц. Мы положим передачу импульса равной Q=p-p=-p+p (см. рис. 16.5). Запишем средние скорости v = p+p 2m , v' = p+p 2m' (16.4.6) На языке этих комбинаций может быть легко показано после соответствующей симметризации, что S = 2(v'-t) Q . (16.4.7) С помощью этой формулы мы можем теперь ответить на интересный вопрос: при столкновении между лёгкой и тяжёлой частицами, какая из них даёт наибольший вклад в излучение? Приведённая формула говорит нам, что если v'<