Шрифт:
,
(16.3.1)
где предшествующие верхние индексы 1 и 2 обозначают материальную частицу до и после вершины. После испускания частица a движется с импульсом (ap-k) к вершине распада, отсюда ^2p=(ap-k). Если мы положим, что амплитуда распада представляется величиной A, зависящей от импульса трёх частиц (a,b,c) чьи траектории проникают в чёрный ящик, выражение для амплитуды есть
– 2
e
a
p
(
a
p-k)
–
1
2
a
p
·
(
a
p-k)
– m
2
a
x
x
(
a
p
–
k
)^2-
m
2
a
^1
A
a
p
–
k,
b
p,
c
p
.
(16.3.2)
Для наших целей точная природа амплитуды A неважна; она представляет собой всё, что здесь происходило бы без гравитона.
Амплитуда, описываемая соотношением (16.3.2), оказывается большой только в том случае, когда пропагатор имеет очень маленькую величину, т.е. когда k много меньше, чем ap, то движение соответствует движению практически свободной частицы. В предельном случае слабых гравитонов этот процесс идентичен процессу торможения излучения, тормозному излучению слабых фотонов; этот процесс тесно связан с классическим пределом, так как он зависит от того, как зарядовые (массовые) токи движутся. Знаменатель есть -2ap·k, и в пределе, когда частоты величины k являются очень малыми, мы можем положить k=0 в числителе. Если мы выносим множитель /, то второй множитель в амплитуде имеет определённый предел, зависящий только от направления гравитона, его поляризации и амплитуды распада
·
e ap ap
ap·k/
·
A(
a
p,
b
p,
c
p
).
(16.3.3)
Имеется три похожих диаграммы, соответствующих испусканию гравитона из любой из этих трёх частиц (a,b,c) Диаграмма, соответствующая гравитону, выходящему из чёрного ящика, как может быть легко показано, много меньше по значению; это происходит потому, что почти нет свободной частицы, которая бы двигалась, отсюда следует, что нет ”малого” знаменателя, который бы увеличил этот член. Если мы пренебрегаем этим членом и более высокими порядками, мы находим, что амплитуда испускания некоторого количества гравитонов есть
·
a
·
A(
a
p,
b
p,
c
p
);
A
=
i
i
p
i
p
(-)
i
e
ip·(k/)
,
(16.3.4)
где i представляет частицу, соединённую с вершиной гравитона, и где (-)i есть множитель, равный +1 для входящей частицы и -1 для выходящей частицы. Величина a есть кинематический игеометрический множитель. Для того, чтобы вычислить вероятность перехода, мы возводим в квадрат амплитуду, подставляем множитель плотности состояния k^2 dk d/(2)^3 и множитель нормализации, который есть /(2Ei) где Ei есть энергия каждой частицы. Получаем следующий результат
P
=
a^2
d
4
d
^2
4^2
,
(16.3.5)
задающий вероятность испускания гравитона при одном распаде. Множитель ^2 делает эту вероятность предельно малой, настолько малой, что шансы весьма и весьма велики против того, чтобы был зарегистрирован измеряемый отскок в камере Вильсона, в водородной пузырьковой камере или соответствующее событие в искровой камере. Множитель с обратной зависимостью от энергии 1/ приводит к тому, что эта величина очень велика при экстремально малых значениях энергии гравитона; тем не менее, этот факт почти не относится к делу, так как величина ^2/ становится близкой к 1 только при значениях энергии настолько низких, что длина волны гравитона должна была бы превосходить радиус вселенной на некоторый множитель, такой как 10^3.
Хотя мы разрабатывали теорию, предполагающую наличие скалярных частиц, в низкоэнергетическом пределе ответ оказывается тем же самым вне зависимости от того, какой может быть спин частиц. Это происходит потому, что в низкоэнергетическом пределе к делу относятся только массовые токи и движение масс. В нашем ответе, конечно, имеется инфракрасная расходимость, так что вероятность испускания гравитона (если его энергия не относится к нашему рассмотрению) оказывается бесконечно большой. Это беспокойство является не более серьёзным, чем инфракрасная расходимость для излучения низкоэнергетических фотонов, и эти проблемы могут быть устранены теми же самыми трюками, как и в низкочастотном ”тормозном излучении.”
16.4. Излучение гравитонов при рассеянии частиц
Рис. 16.5.
Мягкий гравитон может быть испущен, когда две частицы рассеиваются при любом процессе, включающим в себя обмен гравитоном. Диаграммы первого порядка, которые описывают такие процессы, показаны на рис. 16.5. В низкоэнергетическом пределе важны только диаграммы типа (а), которые являются такими диаграммами, где вершина гравитона соединена со свободной частицей. Процессы, описываемые двумя другими диаграммами, являются много менее вероятными, если импульс гравитона много меньше, чем перенос импульса q. в диаграмме (б), например, почти нет свободной частицы, которая бы двигалась, отсюда следует, что нет малого знаменателя. В диаграмме (в) второй пропагатор есть величина порядка 1/(q-k)^21/q^2. Насколько мы интересуемся излучением, точная природа процессов общего рассеяния не важна. Я подчёркиваю это последнее утверждение, потому что всегда найдутся какие-нибудь теоретики, которые постоянно приводят какие-то мистические аргументы, для того чтобы утверждать, что излучение не происходит, если рассеяние является гравитационным - нет оснований для таких утверждений; что касается этого вопроса, излучение гравитационных волн является настолько реальным, насколько это возможно; вращение в системе Солнце — Земля может быть источником гравитационных волн. На самом деле, в этом разделе мы, возможно, должны ограничить наши размышления рассеяниями частиц; для движений таких больших объектов, как планеты или звёзды, может быть более последовательно работать в классическом пределе. Гравитация не всегда является пренебрежимо слабой, это происходит только в процессах атомных столкновений.