Шрифт:
d^2
=
eF
dx
d
,
(4.6.3)
где F есть ротор от вектора A. Из этого уравнения, умножая на dx/d, так как тензор F– антисимметричен, мы находим, что
d
d
dx
d
dx
d
обращается в нуль, или
dx
d
dx
d
=
ds
d
^2
есть константа, так что величина пропорциональна собственному времени (и мы можем взять её равным собственному времени, если m есть масса покоя частицы). Далее мы должны включить наш тензор T в подынтегральное выражение соответствующим образом для того, чтобы получить правильные гравитационные уравнения. В электродинамике вектор, связанный с полем, есть просто производная смещения по отношению к 4-скаляру, т.е. скорость (dx/d) Мы предполагаем, что тензор T есть не что иное, как тензор, порождённый двумя такими скоростями, и подбираем мультипликативную константу так, что компонента с индексами 44 правильно описывает плотность энергии. Мы полагаем
T
=
m
dx
d
dx
d
,
(4.6.4)
где =s=”собственное время”. Компонент с индексами 44 есть на самом деле плотность энергии; он имеет множитель 1/1-v^2/c^2 для того, чтобы учесть увеличение энергии со скоростью, и другой множитель для того, чтобы учесть одновременное сокращение объёма из-за лоренцева сжатия.
Следовательно, интеграл от лагранжиана или действие, которое должно быть провариировано, имеет следующий вид:
m
=
–
1
2
d
dx
d
dx
d
–
d
h
(x)
dx
d
dx
d
.
(4.6.5)
Введём новый тензор для того, чтобы записать действие в более компактном виде
g
(x)
=
+
2
h
(x)
,
(4.6.6)
так что действие может быть записано в виде
m
=
–
1
2
d
g
(x)
x'
x'
.
(4.6.7)
Начиная с последнего соотношения и ниже, обозначаем производную по отношению к параметру знаком ”штрих”. Поскольку мы вариируем функционал (действие) по отношению к координатам траектории, мы получаем два равных члена от каждого из множителей x', x' и один от тензора g; уравнение движения имеет вид
–
d
d
(
g
x'
)
+
1
2
g
x
x'
x'
=
0.
(4.6.8)
Существуют другие способы записи уравнений, которые могут быть иногда полезны. Сначала мы перегруппируем члены, в которых имеются две скорости, с одной стороны равенства
g
x''
=
1
2
g
x
–
g
x
x'
x'
.
(4.6.9)
Теперь мы расщепляем второй член на две равные части и переобозначаем индексы суммирования <-> одной части для того, чтобы получить комбинацию, которая задаётся специальным символом, поскольку он часто повторяется