Шрифт:
Лекция 5
5.1. Орбиты планет и прецессия Меркурия
Поскольку мы уже достигли некоторого прогресса в развитии более сложных теорий, мы должны взглянуть на более тонкие детали наших предсказаний для того, чтобы иметь критерии для оценки нашей теории. У нас есть полевая теория, которая сводится к ньютоновской теории в статическом пределе и включает в себя полное содержание энергии, и оказывается способной правильно предсказывать ”падение” фотонов в поле звезды. Экспериментальное свидетельство, которое заставит нас отказаться от ньютоновского приближения, касается прецессии перигелия планеты Меркурий. Мы продолжаем вычисление орбит планет. Начнём с уравнения
du
d
^2
+
u^2
=
K^2-1-
1+
1-
L^2
,
u
=
1
r
,
K
=
(1+)
dt
ds
,
r
d
ds
=
L
=
(1-)r^2
d
ds
,
(5.1.1)
где символы и представляют собой диагональные элементы тензора h, =2h и =2hii, i=1,2,3. Согласно нашей теории, которую мы разработали к настоящему времени, мы имеем ==-2GM/r=-2GMu. Однако, как мы вскоре увидим, наша теория неверна, и, чтобы не проделывать всю работу вновь после исправления теории, мы запишем
=
(-2GMu)
+
a(-2GMu)^2
+
…,
=
(-2GMu)
+
b(-2GMu)^2
+
…,
(5.1.2)
в наших уравнениях, но для того, чтобы найти следствия нашей существующей теории, мы должны положить a=b=0 и ==1 в этих формулах в самом конце. В случае нашей скалярной теории ==1 и =-2GM/r Предположим, что потенциал в естественных единицах нашей задачи mc много меньше 1, так что мы можем разложить множитель 1/(1+) в ряд по тогда уравнение движения принимает следующий вид:
du
d
^2
+
u^2
=
1
L^2
(K^2-1-)
(1-+^2-…)
(1-)
.
(5.1.3)
Перепишем теперь правую часть этого уравнения как ряд по степеням u. Сохраняя только первый и второй степени малого потенциала, 2GMu и K^2-1, мы имеем
du
d
^2
+
u^2
=
A
+
Bu
+
Bu^2
+
…,
(5.1.4)
где
A
=
1
L^2
(K^2-1)
;
B
=
2GM
L^2
[
(K^2-1)
(+)+
];
C
=
(2GM)^2
L^2
[
K^2^2
+
K^2
–
K^2
–
(K^2-1)b
].
Продифференцируем по переменной ; после сокращения общих множителей уравнение принимает такой вид, для которого довольно просто найти возмущённые решения
d^2u
d^2
+
u
=
1
2
B
+
Cu
+
+… .
(5.1.5)
Когда C=0, это уравнение имеет решения типа простых конических сечений ньютоновских теорий. Переменная u испытывает гармонические осцилляции около точки B/2 как функция . Для эллиптических орбит частота равна 1, так что радиальная координата r возвращается к своему начальному значению при изменении значения угла на 2 движение в точности циклическое. Когда C не равно нулю, частота равна =1-C. Угловой период в этом случае больше, так что перигелий поворачивается при угловом изменении T=2/=2(1+C/2+…). Угол C представляет прецессию перигелия за один планетарный год, так как C<<1.
Для нерелятивистской планеты мы получаем значение прецессии довольно просто; нерелятивистский предел имеет место, когда общая энергия K близка к 1 (в естественных единицах mc^2). В этом случае легко показывается, что уравнение (5.1.5) сводится в точности к ньютоновскому уравнению, как это и должно быть. То, что наша теория должна иметь правильный нерелятивистский предел, является более важным, чем то, что она даст правильное значение для прецессии! Когда K^2-10, прецессия за планетарный год равна
C
=
(^2+a+)
4M^2G^2L^2
.
(5.1.6)
При существующей теории ==1, a=0, эта величина получается равной 57 секунд дуги в столетие (в земных годах) для планеты Меркурия. Для других планет эти значения значительно меньше, как например, 4 секунды дуги в столетие для случая рассмотрения орбиты Земли. Астрономические наблюдения для прецессии перигелия Меркурия дают значение 5270'' дуги в столетие. Однако, почти вся эта величина может быть объяснена влиянием возмущений вследствие влияния других планет. Когда же аккуратно делаются поправки (с использованием чисто ньютоновской теории), отличие между наблюдаемой и вычисленной прецессией оказывается равным 41±2 секунд. Наша теория даёт ответ, который, очевидно, слишком велик (по сравнению с отличием между наблюдаемым значением прецессии и вычисленной величиной в рамках ньютоновской теории), и множитель, который характеризует различие между отличием наблюдаемой и вычисленной (в рамках ньютоновской теории) прецессией и вычисленным нами в рамках слабого приближения эйнштейновской теории гравитации смещением перигелия, имеет значение порядка 4/3.1