Шрифт:
x
=
x'
+
1
2
a
x'
x'
.
(8.6.2)
Кубические члены не будут влиять на правильность приводимого ниже результата. Выражение для первых производных
x
x'
=
+
x'
(8.6.3)
вставляем в уравнение, выражающее g' через g,
+
1
2
g'
0
,
x'
x'
=
+(
g
0
,
+
a
+
a
)
x'
+
+
x'
x'
a
a
+
a
g
0
,
+
a
g
0
,
+
+
1
2
a
g
0
,
+
1
2
g
,
,
(8.6.4)
где a=a Члены, соответствующие первым производным, будут равными нулю при следующем выборе a:
a
+
a
=-
g
0
,
.
(8.6.5)
Нам необходимо решить это уравнение таким образом, чтобы a было выражено через
g
0
,
исходной системы координат. Эта процедура делается с использованием обычных приёмов; вычитаем уравнение, полученное перестановкой (,), затем собираем подобные члены и т.д., и получаем следующее соотношение:
a
=-
1
2
g
0
,
+
g
0
,
–
g
0
,
=-
[,]
.
(8.6.6)
Из соотношения (8.6.4) видно, что
g'
0
,
есть (удвоенное) выражение в квадратных скобках в правой части соотношения (8.6.4) с заменой a в соответствии с соотношением (8.6.6). Эти величины
g'
0
,
теперь могут быть заменены на
g
0
,
в соотношении (8.5.9) для того, чтобы найти компоненты кривизны, выписанные через старые координаты (ограниченные только тем, что они должны быть локально ортогональными), следующим образом:
R
=
1
2
(
g
,
–
g
,
–
g
,
+
g
,
)+
+
[,]
[,]
–
[,]
[,]
.
(8.6.7)
Осталось только ортогонализировать первоначально произвольные координаты. Это может быть сделано линейным преобразованием:
x
=
L
x'
.
(8.6.8)
Всё, что осталось нам сделать, состоит в том, чтобы выбрать
g'
0
=
,
(8.6.9)
и переписать все соотношения ещё раз. Производные при выбранном преобразовании определяются матрицей L, и мы имеем