Шрифт:
(x')
x'
x
=
A'(x')
x'
+
a
A'
(x')
.
(9.2.5)
Именно поскольку эта величина берётся в начале координат, все члены, линейные по x', равны нулю. Таким образом, мы получаем производную ”для плоского пространства” на языке произвольных координат
A
x
–
a
A
=
A'
x'
.
(9.2.6)
Если теперь мы запишем a через метрические тензоры, то мы получаем соотношение для ”более правильной” производной. Эта величина является тензором и известна как ковариантная производная вектора A. Для того, чтобы отличить эту производную от градиентов, мы будем использовать точку с запятой для обозначения ковариантного дифференцирования
A
;
A
x
–
A
.
(9.2.7)
Доказательство того, что эта величина есть тензор, достаточно утомительно, но очень просто; всё, что для этого требуется, состоит в том, чтобы преобразовать все координаты к координатам в плоском пространстве, непосредственно вычислить производную и затем проверить полученный закон преобразования. Правило для дифференцирования контравариантного вектора аналогично предыдущему
A
;
A
x
–
A
.
(9.2.8)
Последнее соотношение может быть доказано более просто, если мы исходим из соотношения (9.2.7) и используем метрический тензор для поднятия и опускания индексов; перестановка метрических тензоров приводит к тому, что величина меняет знак. Для того, чтобы вычислять ковариантную производную тензора, имеющего много индексов, получаем следующее правило
T
;
T
x
+
T
+
T
–
T
.
(9.2.9)
Другими словами, каждый индекс приводит к тому, что добавляется член, который включает в себя и сам тензор. Вряд ли нужно какое-либо другое мнемоническое правило; ковариантная производная вычисляется одинаково для верхних и нижних индексов, причём вычисление производной для верхних индексов идентифицируется со знаком "+", а для нижних индексов со знаком "-", тем самым только это и надо запомнить.
Наиболее хорошо известный пример таких преобразований - это формула для ротора вектора в сферических координатах; эти формулы всегда включают в себя обычные производные, умноженные на величины компонентов этого вектора.
Полезно ещё одно соотношение для ковариантных производных. Так как ковариантные производные метрического тензора равны нулю, как легко может быть показано,
g
;
=
0,
(9.2.10)
то следующее правило применимо для произведения
(A
B
)
;
=
A
B
;
+
A
;
B
.
(9.2.11)
Для того, чтобы показать, что подобные соотношения действительно связывают тензорные величины, всегда допустимо так выбрать координаты, чтобы сделать доказательство проще; тензоры являются такими математическими величинами, что тензорные соотношения, доказанные в одной координатной системе, остаются справедливыми для всех других координат. Последнее соотношение легко может быть доказано при использовании перехода к плоскому касательному пространству; ковариантная производная равна обычной производной в таком пространстве.
Одно из действий кривизны состоит в том, что вторая ковариантная производная не коммутирует с первой. Мы можем явно вычислить такие величины путём повторяющегося использования соотношения (9.2.9). Сначала получаем, что
A
;;
=
[A
;
]
;
=
[A;]
x
+
[A
;