dW

dt

=-

2

3

e^2

c^3

v·a

=

2

3

e^2

c^3

a·a

–

2

3

e^2

c^3

d

dt

(v·a),

(9.1.2)

дающая правильное выражение для dW/dt Для круговых или ограниченных движений средний вклад последнего члена по достаточно большому времени мал или равен нулю (через один цикл, так как величина v·a сохраняет своё значение, то его вклад равен нулю) и для вычисления мощности излучения достаточно более простого соотношения (9.1.1).

Конечно, в гравитационном поле законы электродинамики Максвелла должны быть модифицированы для того, чтобы удовлетворить принцип относительности. В конце концов законы Максвелла предсказывают, что фотон должен двигаться по прямой линии, и обнаружено, что фотон искривляется звездой ("падает на звезду”). Ясно, что некоторое взаимодействие между гравитацией и электродинамикой должно быть включено в более точную формулировку законов электричества для того, чтобы сделать их согласованными с принципом эквивалентности.

Мы не будем завершать построение нашей теории гравитации до тех пор, пока мы не обсудим такие модификации электродинамики, а также механизмы излучения, приёма и поглощения гравитационных волн.

9.2. Ковариантные производные тензоров

В предыдущей лекции мы видели, как понятие кривизны возникает при обсуждении геометрических измерений. Мы можем получить более интересное представление о том, как четырёхмерная кривизна будет влиять на наш взгляд на физику, рассматривая более удачное приближение, которое состоит в том, чтобы определить кривизну как величину, описывающую, что происходит с вектором при перемещении его в пространстве. Давайте представим вновь наш двумерный мир. Если мы используем плоские евклидовы координаты, то постоянное векторное поле, существующее в пространстве, описывается постоянными компонентами. Если мы используем некоторые другие координаты, в общем случае искривлённые, постоянное векторное поле описывается компонентами, которые меняются от точки к точки. Хорошо знакомый пример состоит во введении на плоскости полярных координат, в которых постоянный вектор описывается компонентами

(

A cos

+

B sin

)=

F

r

,

(

B cos

–

A sin

)=

F

.

(9.2.1)

Первое, что мы должны сделать состоит в том, чтобы получить соотношения, которые позволят нам сравнить физически значимое различие между тензором в данной точке и его значением в окружающих точках. По сути дела мы хотим описать изменение тензора, которое до известной степени исключало бы изменения компонентов, вызываемые произвольным выбором координат. Например, мы хотим сравнить вектор в точке x с другим вектором, находящимся в точке, характеризуемой инфинитезимальным смещением dx от заданной точки, перенесением одного из векторов, остающегося постоянным (более точно, остающегося параллельным самому себе) в некоторую другую точку.

Для скалярной функции (тензора нулевого ранга) подобная проблема не составляет проблем. Обычное градиентное преобразование определяется соотношением

x'

=

x

x'

x

,

(9.2.2)

так что градиент скаляра есть очевидно ковариантный вектор. Тем не менее, обычные градиенты векторов или тензорных величин более высокого порядка не являются тензорами; в этом случае в законе преобразования имеются члены, зависящие от случайности при выборе координат. Мы выводим соответствующее выражение для производной путём рассмотрения, как такие объекты выглядят в касательном пространстве. Так как касательное пространство - плоское, производные компонентов не содержат членов, обусловленных искривлением координат, и градиенты векторов по отношению к плоским координатам являются тензорами. Мы получим соотношение для этих тензоров в любых координатах, делая обратное преобразование от плоского пространства к произвольным координатам. Как обычно, мы употребляем разложения для того, чтобы получить такие соотношения. (”Штрихованные” координаты соответствуют плоскому пространству.) Пусть

x

=

x'

+

1

2

a

x'

x'

+

… ,

x

x'

=

+

a

x'

+

… .

(9.2.3)

Используя первые члены разложения, получим

A

(x)

=

x

x'

A'

(x')

.

Поскольку мы можем переписать выражение для производной, используя соотношение (9.2.3), то получим

A

(x)

=

A'

(x')

+

a

x'

A'

(x')

+

… .

(9.2.4)

Теперь возьмём градиент этого выражения по отношению к произвольным координатам и вычислим эту величину в начале координат

A

x

=

x'

A'

(x')

+

a

x'

A'