x

x

.

(9.3.2)

Так как кривизна есть тензор, антисимметричный по индексам (,), билинейные произведения xx могут быть заменены на величину 1/2 (xx– xx), которые являются половиной компонентов площади параллелограмма. Индексы тензоров имеют значение, которое нетрудно описать словесно; если мы рассматриваем перемещение векторов вдоль небольшой петли в плоскости , компонент вектора меняется на величину, пропорциональную сумме по другим компонентам A, RA и площади петли.

Мы уже очень много говорили о перемещении вектора параллельно самому себе, не делая это понятие математически определённым. При использовании более интуитивных терминов, это просто означает, что мы переносим конец стрелки и основание стрелки на некоторое равное смещение так близко, как только мы можем вдоль прямой линии, которая есть геодезическая. Математическое определение может быть наилучшим образом понято путём рассмотрения уравнения геодезических

d^2x

ds^2

=-

dx

ds

dx

ds

.

(9.3.3)

Ясно, что вектор (dx/ds) вдоль геодезической представляет тангенциальную скорость t вдоль геодезической, которая есть "физическая” прямая линия. Вторая производная (d^2x/ds^2) представляет собой изменение этой скорости за интервал времени s

s

d^2x

ds^2

=

t

=-

t

x

.

(9.3.4)

Это изменение пропорционально самому вектору t и перемещениям x. Определение параллельного переноса аналогично; мы говорим, что вектор A' есть результат переноса параллельно самому себе

A'

=

A

+

A

,

где

A

=-

A

x

.

(9.3.5)

Легко может быть показано, что когда мы перемещаем множество векторов вдоль замкнутой кривой, перемещал каждый из них параллельно самому себе, соотношения между векторами не меняется, так что целое пространство, определённое множеством векторов, поворачивается при движении вдоль петли, это задаёт полное изменение, вызванное перемещениями. Доказательство этого утверждения состоит в проверке того, что все инвариантные скаляры

B

A

g

,

(9.3.6)

остаются неизменными. Это означает, что длины векторов и углы между векторами сохраняются. Единственное преобразование, которое допускает это, выглядит как поворот целого пространства.

Рис. 9.3.

Возможно, что топологические свойства пространства не полностью определяются локальной кривизной. Например, мы получили, что длины векторов сохраняются и углы между векторами сохраняются, когда мы переносим пространство параллельно самому себе. Всё же нет гарантии, что для длинной замкнутой траектории отражение недопустимо, также как и вращение. Двумерный пример таких отражений (например, неориентируемая поверхность) имеет место в ленте Мёбиуса (рис. 9.3). Если мы возьмём два вектора, один из которых параллелен, другой перпендикулярен центральной линии ленты Мёбиуса, и обойдём один раз ленту, двигаясь налево от вертикальной пунктирной линии, показанной рис. 9.3, то пространство не переходит само в себя, а испытывает отражение, обусловленное ”скрученностью” поверхности, а не просто поворот.

Теперь, когда мы определили такое понятие, как перенос вектора параллельно самому себе, мы можем получить важную формулу для тензора кривизны при движении по траектории ABCD на рис. 9.2. Разности в векторах при каждом инфинитезимальном перемещении задаются символами Кристоффеля . Но так как эти разности не являются в точности теми же самыми вдоль (AB) и (CD), и даже, если бы эти перемещения были бы противоположны одно другому, вектор не вернулся бы к своей исходной величине. Мы можем понять, каким образом символы Кристоффеля оказываются вовлечены в доказательство этого факта. Выполняя алгебраические преобразования, приходим к соотношению (9.2.14).

Можно показать, что тензор кривизны удовлетворяет тождеству Бианки

R

;

+

R

;

+

R

;

=

0.

(9.3.7)

Сейчас без подготовки я не стал бы говорить о геометрическом значении тождества Бианки. Имеется обычное уравнение электродинамики, которое может быть записано в виде, идентичном виду тождества Бианки, за исключением числа измерений. Тензор поля задаётся через векторный потенциал следующим соотношением: