Шрифт:
S
g
=-
1
2^2
dx
R
– g
.
(10.1.2)
В тех выражениях, которые мы выписываем, мы обозначаем dx=dxdyzdt. Действие Sg есть скаляр, поскольку R есть скаляр и -gdx есть скаляр. Мы можем показать последнее, исходя из рассмотрения того, что собственное время есть скалярный инвариант
(ds)^2
=
g
dx
dx
.
(10.1.3)
Вследствие того, что g есть симметричный тензор, мы всегда можем ввести вращение таким образом, что тензор будет диагональным; в этом случае
(ds)^2
=
D(dt)^2
–
C(dz)^2
–
B(dy)^2
–
A(dx)^2
.
(10.1.4)
Отсюда мы видим, что элемент объёма dx не является инвариантом; должным образом выбранный инвариантный элемент объёма есть
ABCD
dx'
dy'
dz'
dt'
=
– g
dx'
,
(10.1.5)
где g'=Det g'. Если мы делаем ортогональные преобразования, то dx=dx' и также определитель Det g равен Det g'. Таким образом, общее выражение для инвариантного элемента объёма есть
– g
dx
.
(10.1.6)
Величина -g есть скалярная плотность. Это означает, что её изменение при координатном преобразовании получается умножением на якобиан преобразования
– g'
=
x
x'
– g
.
(10.1.7)
Тензор кривизны появляется тогда, когда мы вычисляем вариацию величины Sg по отношению g
Sg
g
=
1
2^2
– g
R
–
1
2
g
R
.
(10.1.8)
Это происходит из-за того, что мы можем использовать интеграл от R как действие гравитационной части полной задачи.
Позвольте мне отметить, что поскольку этот тензор давления появляется при таком подходе из вариационного принципа, его ковариантная дивергенция с необходимостью равна нулю (это утверждение впервые, я считаю, было отмечено Эддингтоном). Мы увидели эту связь с другого направления, заключающегося в том, что мы могли бы вывести вариационный принцип при условии, что мы исходим из тензора с нулевой дивергенцией. Доказательства, которые мы предлагаем, не являются строгими; мы не беспокоимся о строгости, поскольку факты составляют существо дела, а не их доказательства. Физика может развиваться без доказательств, но мы не можем продолжать развивать теорию без фактов. Доказательства полезны в том смысле, что они являются хорошими упражнениями; если факты верны, тогда доказательства являются предметом игры с корректным использованием алгебры.
Мы хотим показать, что если функционал
S
g
=
dx
[g
]
,
(10.1.8')
есть инвариант при координатных преобразованиях, тогда ковариантная дивергенция вариации Sg по отношению g тождественно равна нулю. Делая инфинитезимальное преобразование и переходя к штрихованным координатам x– >x',
x
=
x'
+
h
(x')
,
(10.1.9)
изменение g задаётся соотношением
g
– >
g'
(x')
=
g
(x')
+
h
,
g
(x')
+
h
,
g
(x')
+
+
h
g
,
(x')
.
(10.1.10)
Выражая действие в новых координатах, опуская штрихи у переменных, по которым ведётся интегрирование, инвариантное действие выражается в виде
S
g
=
dx
[g'
]
=
dx
[g