Шрифт:
;
=
A
,
–
A
,
(10.1.23)
Для тензоров второго ранга ответы оказываются различными (в зависимости от симметрии), для антисимметричных тензоров
F
;
=
1
– g
– g
F
,
если
F
=-
F
.
(10.1.24а)
Для симметричных тензоров
T
;
=
1
– g
T
– 1
,
–
1
2
g
,
T
,
если
T
=
T
.
(10.1.24б)
Используя эти соотношения, путём прямых вычислений можно получить, что соотношения (10.1.14) и (10.1.15) эквивалентны. Таким образом, мы видим, что инвариантность действия приводит к построению тензорной плотности, которая автоматически имеет нулевую ковариантную дивергенцию. Так как ковариантная производная метрического тензора g обращается в нуль, то ковариантная производная (-g); также обращается в нуль. (Заметим для точности, что обычная производная (-g), есть не то же самое, что ковариантная производная, поскольку -g есть скалярная плотность, а не скаляр). Тензор, ассоциированный с тензорной плотностью G также является бездивергентным,
G
=
G
– g
,
G
;
=
0.
(10.1.25)
В этой связи нам следует прояснить некоторое положение, которое достаточно кратко, но иногда оказывается довольно запутанным. В лекции 6 мы работали с функциональными уравнениями (например, соотношение (6.2.3) того же вида, что и соотношение (10.1.2)); решения этих уравнений являются в действительности тензорными плотностями, а не тензорами. Тензорная плотность T удовлетворяет уравнению
T
,
=-
T
,
(10.1.26)
где T=-gT, но тензор энергии-импульса T удовлетворяет следующему соотношению
T
,
=-
T
–
1
2g
g
,
T
.
(10.1.27)
10.2. Действие для классических частиц в гравитационном поле
Следующее, что мы обсудим, это то, как записать общий закон физики, который описывает не только гравитационные поля, но также и вещество. Мы предполагаем, что такой закон может быть выведен из принципа наименьшего действия; математическая формулировка которого состоит в том, что вариация действия равна нулю
S
=
dx
L[
g
,
A
, …]
(10.2.1)
Плотность лагранжиана L содержит различные виды полей, например, поле тензора гравитации g, электромагнитное поле A и, если вещество есть скаляр, поле вещества скаляра . Когда мы вариируем это действие по отношению к различным полям, мы получаем уравнения распространения для соответствующих полей. Мы написали одну часть этого действия; давайте обозначим ту часть действия, которая ранее была пропущена, через Sm которая зависит от полей материи и электромагнитных полей A и всех других полей, какие мы только знаем. Когда мы вычисляем вариацию от действия
S
=
S
g
+
S
m
=-
1
2^2
dx
– g
R
+
S
m
,
(10.2.2)
по отношению к g, мы получаем следующее уравнение:
Sg
g
=
1
2^2
– g
R
–
1
2
g